Binomio de Newton

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Qué tal amigos, como están? Espero que muy bien, con muchas ganas de seguir aprendiendo. El día de hoy nos hemos juntado sobre este artículo, para aprender todo lo relacionado al binomio de Newton, vamos a develar el gran secreto y te enseñaré todo lo que necesitas saber.

Este tema, se trabaja en la materia de algebra y es una consecuencia de conocimientos previos. Te invito a que antes me respondas: Sabes qué es un número factorial?. Sabes que es un número combinatorio? Si tu respuesta fue un SI, dale, que ahora aprenderás muchas cosas más.

Si por el contrario, tu respuesta fue un NO, aquí te dejo un enlace al artículo que hice hace algunas semanas sobre FACTORIAL DE UN NÚMERO y también al tema que le sigue, que es: Número combinatorio. Sin más entonces, vamos a meterle mucha caña.

¿Qué es un binomio de Newton?

Cómo su nombre lo dice, es una expresión matemática de dos términos que se suman o se restan y que a su vez, están elevados a un exponente (Número natural)

donde “a” y “b” son los términos del binomio y “n” es el exponente natural.

Binomio de Newton fórmula:

El desarrollo polinomial de la potencia (a+b)^n, siendo n un número natural, viene dada por la fórmula:

Expansión de la potencia de (a+b)^n

Demostración deductiva del teorema:

Se tiene la multiplicación indicada general:

Efectuemos aplicando la propiedad de Stevin:

Análogamente, sustituyendo en el polinomio de Stevin, los coeficientes Sk.

(1 ≤ k ≤ n), los cuales los reducimos por separado del siguiente modo:

No te me vayas a asustar, con todo esto, es solamente la demostración de como se llega al desarrollo del binomio. Aquí viene lo bueno, así que concentrado(a):

Características del desarrollo de (a+b)^n

En la potencia del Binomio de Newton:

se observan las siguientes características:

  • El desarrollo de (a+b)^n es un polinomio homogéneo de grado n y además es completo con respecto a las variables a y b.
  • El número de términos de la expansión de (a+b)^n es igual a (n+1).
  • Los coeficientes de los términos equidistantes de los extremos son números combinatorios COMPLEMENTARIOS, por tal razón, tendrán el mismo valor. Algunos de estos son:
  • En la potencia de (a+b)^n, los exponentes de “a” disminuyen de uno en uno (a partir de n), mientras los de “b” aumentan de uno en uno (hasta llegar a n).

Triángulo de Pascal

Este triángulo es una representación de los coeficientes binomiales. Si bien, este desarrollo se le atribuye al matemático francés Blaise Pascal, (es de nombre más conocido); permíteme informarte que está más lejos de la realidad. Según la historia, ya se había estudiado con anterioridad por los persas, los chinos indios e italianos.

Este arreglo de números distribuido triangularmente, fue diseñado por NICCOLO FONTANA (1500-1557), matemático italiano apodado TARTAGLIA. Dicho triángulo aritmético presenta la siguiente estructura:

Donde cada número colocado en los lados del triángulo son iguales a 1, y cada número ubicado anteriormente es la suma de los dos números ubicados sobre él, en la línea horizontal anterior, la ampliación de dicho triángulo aritmético puede continuarse a voluntad, es decir, según la necesidad del estudiante.

Si observamos en detalle los elementos del triángulo, podemos deducir que, cada uno de ellos se puede expresar como un número combinatorio, tal como sigue:

Como la (n+1) fila nos representa los coeficientes de (a+b)^n, concluimos que los números combinatorios distribuidos horizontalmente en cada fila de dicho triángulo, nos expresa los coeficientes de la potencia de un cierto binomio.

Por ejemplo:

Desarrolle (a+b)^6.

Se sabe que todos los términos son positivos. Luego, tomando los números combinatorios de la 7ma fila:

Otro ejemplo:

Expanda (a – b)^7.

Considerando que los signos de los términos son alternadamente positivos y negativos, tomemos los números combinatorios de la 8.a fila:

Binomio de Newton término general

Cualquier término del desarrollo de (a+b)^n, siendo n un exponente natural, viene dado por la fórmula de recurrencia.

Donde (k+1) nos indica la posición que ocupa el término de dicho desarrollo.

Regla para determinar el signo del término k+1

  • Si b > 0, todos los términos de la potencia de (a+b)^n serán POSITIVOS.
  • • Si b < 0, los signos de los términos dependerá de la posición que ocupan, tal como sigue:
    • Términos de lugar impar son POSITIVOS.
    • Términos de lugar par son NEGATIVOS.

Binomio de Newton ejemplos

Ejemplo 1

Determine el 4.º término del desarrollo de:

Ejemplo 2

Señale el 3.er y 6.º término de la potencia de la expresión racional:

Solución:

Ejemplo 3

Indique el término de lugar 10, en la expansión de:

Solución:

Aplicando directamente la fórmula general:

Ejemplo 4

Calcule el séptimo término de la potencia de:

Solución:

Propiedades:

Primera:

La suma de los coeficientes de todos los términos del desarrollo de (a+b)^n es igual a 2^n.

Segunda:

A consecuencia de la primera, analizaremos el desarrollo de (1+x)^n, donde n pertenece a los números naturales positivos.

Por el teorema de Newton, se tiene:

Ejemplos de las propiedades:

Veamos algunos ejemplitos, donde podemos aplicar estas propiedades:

Ejemplo 5

Sume la serie:

Solución:

Ejemplo 6:

Efectúe:

Solución:

Ejemplo 7

Qué se obtiene al sumar:

Solución:

Tercera

La suma de los coeficientes de los términos de lugar impar es igual a la suma de los coeficientes de los términos de lugar par en la potencia de (a+b)^n.

Para calcular los últimos términos de ambos miembros, debemos considerar dos casos:

Primer caso: Si n es PAR.

Segundo caso: Si n es IMPAR.

Cuarta

La suma de los grados absolutos de todos los términos del desarrollo de (ax^p + by^q)^n.

Ejemplo:

Determina la suma de todos los grados absolutos en el desarrollo del siguiente binomio:

Solución:

Quinta:

Cálculo de un término cualquiera contado a partir del extremo final en la potencia de (a+b)^n.

Ejemplo:

Determine el 4.º término contado de derecha a izquierda, en la expansión de la expresión:

Solución:

Binomio de Newton término central

Cálculo del término central en la potencia de (a+b)^n.

Si n es un número PAR

El desarrollo de (a+b)^n admite un sólo término central, cuya posición se calcula así:

Si n es un número IMPAR

La expansión (a+b)^n posee dos términos centrales, cuyas posiciones se calculan así:

Ejemplos:

Vamos a resolver ejercicios donde vamos aplicar el concepto de término central:

Ejemplo 8

Muestre el término central en el desarrollo de:

Solución:

Ejemplo 9

Solución:

Binomio de Newton término independiente

Para hallar el término independiente en un ejercicio que nos puedan plantear, no existe ninguna propiedad fórmula, solo vas a seguir el siguiente procedimiento.

Veámoslo con un ejemplo para que te quede muy claro:

Solución:

Vamos aplicar nuestro concepto para hallar cualquier término en la solución del binomio:

Como recomendación siguiente, hay que tener presente que el término será independiente, cuando no existan variables, por lo tanto en nuestro desarrollo, consideraremos a la variable x como 1.

Mira la solución:

Binomio de Newton ejercicios resueltos

Ahora si empezamos con lo que seguramente estabas buscando, la solución de muchas ejercicios, para que sepas como aplicar todo lo aprendido hasta el momento.

Ejercicio 1

Solución:

Como nos piden el quinto lugar, el valor de k es 4, entonces:

Ejercicio 2

Solución:

Ejercicio 3

Solución:

Ejercicio 4

Solución:

Buscamos el término de lugar k+1

Ejercicio 5

Solución:

El número de términos del desarrollo es “n + 1”.

Además:

Ejercicio 6

Solución:

Ejercicio 7

Solución:

Ejercicio 8

Solución:

Ejercicio 9

Solución:

Ejercicio 10

Solución:

Ejercicio 11

Solución:

Ejercicio 12

Solución:

Ejercicio 13

Solución:

Ejercicio 14

Indique el término independiente en la expansión de la potencia:

Solución:

Binomio de Newton Clase completa

Como ya se está haciendo una costumbre, en esta sección, voy a compartir una clase completa del tema en cuestión.

Todo lo que has visto en texto, te lo explico paso a paso. Aquí te comparto la sesión en vivo que se realizó dentro de la plataforma Matemath.

No está de más decirte, que si la clase te gustó y pudiste aprender, te invito a que formes parte de la plataforma Matemath, aquí podrás encontrar mucho contenido y sobre todo profesores que te van ayudar a que aprendas matemáticas como se debe.

Te dejo aquí un enlace, con la información detallada de como te puedes suscribir, por solo un pago al mes de 35 soles ó 12 dólares americanos. Preguntas frecuentes

Resumen

Espero haber podido responder a todos tus interrogantes, si tienes preguntas adicionales, puedes dejarme un comentario que gustoso estaré de responderlo, de la misma forma si quieres que trabaje en algún tema en específico, déjame el mensaje que todos siempre los leo.

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Eso es todo por hoy, nos vemos en el siguiente artículo.

Adios!

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