Ecuaciones de segundo grado

Hola qué tal! Hoy vamos a desarrollar todo el tema de Ecuaciones de segundo grado, vamos a ir paso a paso y trataré de hacerlo, lo más sencillo posible. Esto corresponde a la materia de Algebra.

Hay que tener en cuenta, que debes tener conocimientos previos, uno de ellos es, ya haber aprendido las ecuaciones de primer grado, pues aquí trataremos situaciones más complejas. Es mi recomendación. Vamos a meterle caña entonces:

¿Qué es una ecuación de segundo grado?

Es aquella ecuación cuyo primer miembro es un polinomio de segundo grado con respecto a una variable (incógnita) x y el segundo miembro es igual a cero.

A la ecuación de segundo grado se le denomina también: “ecuación cuadrática”.

Luego una ecuación de segundo grado con una incógnita, es aquella que puede reducirse a la forma general:

Ecuación de segundo grado forma general

Donde:
a: coeficiente del término cuadrático (a ≠ 0)
b: coeficiente del término lineal
c: término independiente
x: variable (incógnita)

Importante

De dice que una ecuación es de segundo grado porque el mayor exponente de la incógnita es 2, entonces tendrá 2 soluciones o raíces.

Recuerda, una ecuación tendrá tantas raíces, como lo indique el grado de la ecuación.

La ecuación:

Al resolverla se obtendrá dos soluciones:

raíces de una ecuación de segundo grado

Las soluciones o raíces se agrupan en un conjunto al que llamamos conjunto solución o CS.

conjunto solución de una ecuación de segundo grado

Ejemplo 1:

De la siguiente ecuación:

Comparando:

Ejemplo 2:

De la siguiente ecuación de segundo grado:

Comparando:

Clasificación:

Las ecuaciones de segundo grado podemos clasificarlas de la siguiente manera:

Ecuación de segundo grado completa

Cuando no falta ninguno de sus términos, es decir, tiene la forma general:

Ecuación de segundo grado incompleta

Cuando falta algún término en la forma general, es decir:

¿Cómo resolver ecuaciones de segundo grado?

Vamos a dividir este proceso en dos partes, la primera cuando la ecuación es completa y la segunda cuando sea incompleta.

Para cada una de ellas hay diferentes formas en las que podemos darle solución a un problema.

Solución de una ecuación de segundo grado completa

Para este caso particular el método más conocido es:

Método por factorización:

Este método se emplea sólo cuando la factorización del polinomio de 2.º grado puede efectuarse (se dice entonces que la ecuación dada es factorizable).

¿Cómo resolver ecuaciones de segundo grado por factorización?

1.º Se trasladan todos los términos a un sólo miembro (para dar la forma general), dejando el otro miembro igual a cero.

2.º Factorizar el polinomio de 2.º grado, aplicando la regla del aspa simple.

3.º Cada uno de los factores que resulta se igualan a cero y se halla en cada igualdad el valor de la raíz.

Ejemplo 1

Halle las soluciones de la ecuación:

Solución:

Primer paso: Transponiendo términos (para darle la forma general)

Segundo paso: Factorizando el polinomio de 2.º grado (aspa simple):

Tercer paso: Cada factor se iguala a cero:

Ejemplo 2

Halle x1 y x2 de la siguiente ecuación:

Solución:

1.er Paso: Se observa que la ecuación está dada en su forma general.

2.º Paso: Factorizando por aspa simple:

3.er Paso: Igualando a cero cada factor:

Ejemplo 3

Resuelva:

Solución:

Habrás notado que para resolver una ecuación de 2.º grado simplemente se necesitan tres pasos para llegar a las soluciones o raíces.

Luego:

Ecuaciones de segundo grado fórmula general

Cuando la factorización del polinomio de 2.º grado no es inmediata, es decir, es muy complicada o simplemente no es posible aplicarla, entonces se emplea la fórmula general de resolución.

Sea la ecuación:

Una vez identificados los coeficientes: (a, b, c), se pueden obtener los valores de la incógnita (x).

La fórmula general está dada por:

Donde las dos soluciones o raíces son:

Ejemplo 4

Halle x1 y x2 de la siguiente ecuación:

Solución:

(i) Identificando los coeficientes correspondientes:

(ii) Reemplazando a, b y c en la fórmula:

Separando ambas soluciones:

Ejemplo 5

Resuelva:

Solución:

Se observa que la factorización no es posible aplicarla.
Aplicando la fórmula general:
Identificando: a = 2, b = –5, c = 1

Reemplazando a, b y c en la fórmula:

Luego:

Ejemplo 6

Halle x1 y x2 de la ecuación:

Solución:

Se observa que la factorización es complicada.
⇒ Por la fórmula general:
a = 1, b = –1, c = –1

• Reemplazando a, b y c en la fórmula:

¿Cómo resolver una ecuación de segundo grado incompleta?

Sabemos que una ecuación de 2.º grado incompleta es cuando falta alguno de los términos en la forma general de una ecuación y se van a presentar tres casos:

Primer caso

Si b = 0 ⇒ La ecuación

Se convierte en:

Su solución, consiste en despejar la variable y extraer la raíz cuadrada.

Ejemplo 7

Resuelva:

Solución:

Efectuando:

Transponiendo términos:

Extrayendo la raíz cuadrada m.a.m.:

Segundo caso

Si c = 0 ⇒ La ecuación

Se convierte en:

Para su solución, factorizamos (factor común), luego igualamos a cero cada factor.

Ejemplo 8

Resuelva:

Solución:

Efectuando:

Transponiendo términos:

Sacamos ahora factor común:

Luego:

Tercer caso

Si b = c = 0 ⇒ La ecuación

Se observa que la solución necesariamente es cero. Este 3.er caso muy poco es frecuente en las ecuaciones.

Estudio de la naturaleza de las raíces de una ecuación de 2.º Grado

Dada la ecuación de 2.º grado:

Sabemos que los valores de la incógnita (x) se obtiene mediante la siguiente fórmula:

Observamos que las raíces de la ecuación dependen de la cantidad subradical b^2 – 4ac.

Discriminante

Se denomina así a la cantidad subradical de la solución general b^2 – 4ac, y se le simboliza por la letra griega mayúscula Δ; es decir:

Ahora vamos a establecer casos, dependiendo del valor de la discriminante, así tenemos:

Primer caso:

Si Δ > 0, las raíces serán reales y diferentes.

Ejemplo 9

Resuelva:

Solución:

Cálculo del discriminante:

De aquí:

Las raíces son reales y diferentes.

Segundo caso

Si Δ = 0, las raíces serán reales e iguales; esto es, una raíz real doble.

Ejemplo 10

Resuelva:

Solución:

Análogamente:

En la solución general:

De aquí:

Tercer caso

Si Δ < 0, las raíces serán imaginarias y conjugadas.

Ejemplo 11

Resuelva:

Solución:

De igual manera:

donde Δ < 0, y en la solución general:

las cuales son imaginarias y conjugadas.

Ecuaciones de segundo grado gráfica

En esta sección vamos a graficar una ecuación de segundo grado para ver como se comporta en el plano cartesiano.

Sean las funciones:

Se obtiene la ecuación cuadrática:

De la igualdad (alfa), se deben calcular aquellos x (x1 y x2) para los cuales las ordenadas de ambas funciones (y1 y y2) son las mismas; es decir, geométricamente, hallar los puntos de intersección de las gráficas de estas funciones, como se muestra en la figura:

donde:

Ejemplo 12

Resuelve graficamente:

Esbozemos la gráfica de la función cuadrática:

Las abscisas de los puntos P y Q de intersección de la gráfica de F y el eje horizontal, nos representan las raíces o soluciones de la ecuación.
Observar que, para:

¿Cómo graficar ecuaciones de segundo grado?

En la ecuación cuadrática:

Sabemos que la naturaleza de sus raíces viene dada por el valor del discriminante Δ. Según esto, geométricamente, se obtienen gráficamente lo siguiente:

Propiedades de las raíces

Vamos analizar cómo poder realizar diferentes acciones con las raíces de una ecuación de segundo grado, teniendo presente siempre que a, b y c son los coeficientes de la misma.

Suma de las raíces:

Si en un problema, te piden encontrar la suma de las raíces, solo aplica la siguiente fórmula:

Producto de las raíces:

Si en un ejercicio te piden calcular el producto de las raíces de una ecuación de segundo grado, solo aplica la siguiente fórmula:

Diferencia de las raíces: (De la equivalencia de Legendre)

Ejemplo 13

En la ecuación

calcule la suma de sus raíces.

Solución:

De la ecuación se tiene:

Reemplazando en la propiedad indicada se tendrá:

Ejemplo 14

Dada la ecuación

calcule la suma de sus raíces.

Solución:

De la ecuación se tiene:

Entonces:

Diferencia de raíces

Raíces simétricas

Raíces recíprocas

Ejemplo 15

De la siguiente ecuación determina el valor de k para que una raíz sea dos veces más que la otra:

Solución:

De la suma de raíces obtenemos:

Por dato del problema:

Reemplazamos (2) en (1)

Del producto de raíces:

Propiedades particulares

Dadas las ecuaciones cuadráticas:

Si tienen las mismas soluciones, se cumple:

A) Son equivalentes, luego:

B) Tienen una raíz común: teorema de Bezout:

El valor de la raíz común se determina así:

Ejemplo 16

Sea las ecuaciones equivalentes:

Solución:

Por ser ecuaciones equivalentes:

Formación de la ecuación cuadrática a partir de sus raíces

si: x1 y x2 son raíces de una ecuación de segundo grado, entonces esta ecuación es de la forma:

Ejemplo 17

Forme una ecuación de segundo grado, cuyas raíces sean:

Solución:

Asumiendo que dichos valores son x1 y x2 respectivamente. Calculemos S y P por separado:

Aplicando la fórmula, se tiene:

Ejemplo 18

Dada la ecuación cuadrática

Los coeficientes a, b y c forman una progresión aritmética, si r1 y r2 son las raíces de la ecuación y cumplen:

Solución:

Si los coeficientes forman una progresión aritmética se cumplirá:

Luego, por propiedad sabemos que:

De (1) tenemos:

Resumen

Espero haberte podido ayudar a que hayas aprendido acerca de las ecuaciones de segundo grado. Como vez, solo te recomiendo practicar para que puedas adquirir mucha destreza y habilidad.

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Nos vemos en el siguiente artículo, adios!

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