• Skip to main content
  • Skip to primary sidebar
  • Skip to footer

Matemath Web

Plataforma para aprender Matemáticas Online

  • Preguntas Frecuentes
  • Acceder
  • Suscribirse
Ecuaciones de segundo grado

Ecuaciones de segundo grado

5 / 5 ( 1 voto )

Hola qué tal! Hoy vamos a desarrollar todo el tema de Ecuaciones de segundo grado, vamos a ir paso a paso y trataré de hacerlo, lo más sencillo posible. Esto corresponde a la materia de Algebra.

Hay que tener en cuenta, que debes tener conocimientos previos, uno de ellos es, ya haber aprendido las ecuaciones de primer grado, pues aquí trataremos situaciones más complejas. Es mi recomendación. Vamos a meterle caña entonces:

Contenido

  • 1 ¿Qué es una ecuación de segundo grado?
  • 2 Importante
    • 2.1 Ejemplo 1:
    • 2.2 Ejemplo 2:
  • 3 Clasificación:
    • 3.1 Ecuación de segundo grado completa
    • 3.2 Ecuación de segundo grado incompleta
  • 4 ¿Cómo resolver ecuaciones de segundo grado?
    • 4.1 Solución de una ecuación de segundo grado completa
      • 4.1.1 Método por factorización:
        • 4.1.1.1 ¿Cómo resolver ecuaciones de segundo grado por factorización?
        • 4.1.1.2 Ejemplo 1
        • 4.1.1.3 Ejemplo 2
        • 4.1.1.4 Ejemplo 3
  • 5 Ecuaciones de segundo grado fórmula general
    • 5.1 Ejemplo 4
    • 5.2 Ejemplo 5
    • 5.3 Ejemplo 6
  • 6 ¿Cómo resolver una ecuación de segundo grado incompleta?
    • 6.1 Primer caso
      • 6.1.1 Ejemplo 7
    • 6.2 Segundo caso
      • 6.2.1 Ejemplo 8
    • 6.3 Tercer caso
  • 7 Estudio de la naturaleza de las raíces de una ecuación de 2.º Grado
    • 7.1 Discriminante
    • 7.2 Primer caso:
      • 7.2.1 Ejemplo 9
    • 7.3 Segundo caso
      • 7.3.1 Ejemplo 10
    • 7.4 Tercer caso
      • 7.4.1 Ejemplo 11
  • 8 Ecuaciones de segundo grado gráfica
    • 8.1 Ejemplo 12
  • 9 ¿Cómo graficar ecuaciones de segundo grado?
  • 10 Propiedades de las raíces
    • 10.1 Suma de las raíces:
    • 10.2 Producto de las raíces:
    • 10.3 Diferencia de las raíces: (De la equivalencia de Legendre)
      • 10.3.1 Ejemplo 13
      • 10.3.2 Ejemplo 14
    • 10.4 Diferencia de raíces
    • 10.5 Raíces simétricas
    • 10.6 Raíces recíprocas
      • 10.6.1 Ejemplo 15
    • 10.7 Propiedades particulares
      • 10.7.1 Ejemplo 16
  • 11 Formación de la ecuación cuadrática a partir de sus raíces
    • 11.1 Ejemplo 17
    • 11.2 Ejemplo 18
  • 12 Resumen
  • 13 Artículos relacionados

¿Qué es una ecuación de segundo grado?

Es aquella ecuación cuyo primer miembro es un polinomio de segundo grado con respecto a una variable (incógnita) x y el segundo miembro es igual a cero.

A la ecuación de segundo grado se le denomina también: “ecuación cuadrática”.

Luego una ecuación de segundo grado con una incógnita, es aquella que puede reducirse a la forma general:

Ecuación de segundo grado forma general

Donde:
a: coeficiente del término cuadrático (a ≠ 0)
b: coeficiente del término lineal
c: término independiente
x: variable (incógnita)

Importante

De dice que una ecuación es de segundo grado porque el mayor exponente de la incógnita es 2, entonces tendrá 2 soluciones o raíces.

Recuerda, una ecuación tendrá tantas raíces, como lo indique el grado de la ecuación.

La ecuación:

Al resolverla se obtendrá dos soluciones:

raíces de una ecuación de segundo grado

Las soluciones o raíces se agrupan en un conjunto al que llamamos conjunto solución o CS.

conjunto solución de una ecuación de segundo grado

Ejemplo 1:

De la siguiente ecuación:

Comparando:

Ejemplo 2:

De la siguiente ecuación de segundo grado:

Comparando:

Clasificación:

Las ecuaciones de segundo grado podemos clasificarlas de la siguiente manera:

Ecuación de segundo grado completa

Cuando no falta ninguno de sus términos, es decir, tiene la forma general:

Ecuación de segundo grado incompleta

Cuando falta algún término en la forma general, es decir:

¿Cómo resolver ecuaciones de segundo grado?

Vamos a dividir este proceso en dos partes, la primera cuando la ecuación es completa y la segunda cuando sea incompleta.

Para cada una de ellas hay diferentes formas en las que podemos darle solución a un problema.

Solución de una ecuación de segundo grado completa

Para este caso particular el método más conocido es:

Método por factorización:

Este método se emplea sólo cuando la factorización del polinomio de 2.º grado puede efectuarse (se dice entonces que la ecuación dada es factorizable).

¿Cómo resolver ecuaciones de segundo grado por factorización?

1.º Se trasladan todos los términos a un sólo miembro (para dar la forma general), dejando el otro miembro igual a cero.

2.º Factorizar el polinomio de 2.º grado, aplicando la regla del aspa simple.

3.º Cada uno de los factores que resulta se igualan a cero y se halla en cada igualdad el valor de la raíz.

Ejemplo 1

Halle las soluciones de la ecuación:

Solución:

Primer paso: Transponiendo términos (para darle la forma general)

Segundo paso: Factorizando el polinomio de 2.º grado (aspa simple):

Tercer paso: Cada factor se iguala a cero:

Ejemplo 2

Halle x1 y x2 de la siguiente ecuación:

Solución:

1.er Paso: Se observa que la ecuación está dada en su forma general.

2.º Paso: Factorizando por aspa simple:

3.er Paso: Igualando a cero cada factor:

Ejemplo 3

Resuelva:

Solución:

Habrás notado que para resolver una ecuación de 2.º grado simplemente se necesitan tres pasos para llegar a las soluciones o raíces.

Luego:

Ecuaciones de segundo grado fórmula general

Cuando la factorización del polinomio de 2.º grado no es inmediata, es decir, es muy complicada o simplemente no es posible aplicarla, entonces se emplea la fórmula general de resolución.

Sea la ecuación:

Una vez identificados los coeficientes: (a, b, c), se pueden obtener los valores de la incógnita (x).

La fórmula general está dada por:

Donde las dos soluciones o raíces son:

Ejemplo 4

Halle x1 y x2 de la siguiente ecuación:

Solución:

(i) Identificando los coeficientes correspondientes:

(ii) Reemplazando a, b y c en la fórmula:

Separando ambas soluciones:

Ejemplo 5

Resuelva:

Solución:

Se observa que la factorización no es posible aplicarla.
Aplicando la fórmula general:
Identificando: a = 2, b = –5, c = 1

Reemplazando a, b y c en la fórmula:

Luego:

Ejemplo 6

Halle x1 y x2 de la ecuación:

Solución:

Se observa que la factorización es complicada.
⇒ Por la fórmula general:
a = 1, b = –1, c = –1

• Reemplazando a, b y c en la fórmula:

¿Cómo resolver una ecuación de segundo grado incompleta?

Sabemos que una ecuación de 2.º grado incompleta es cuando falta alguno de los términos en la forma general de una ecuación y se van a presentar tres casos:

Primer caso

Si b = 0 ⇒ La ecuación

Se convierte en:

Su solución, consiste en despejar la variable y extraer la raíz cuadrada.

Ejemplo 7

Resuelva:

Solución:

Efectuando:

Transponiendo términos:

Extrayendo la raíz cuadrada m.a.m.:

Segundo caso

Si c = 0 ⇒ La ecuación

Se convierte en:

Para su solución, factorizamos (factor común), luego igualamos a cero cada factor.

Ejemplo 8

Resuelva:

Solución:

Efectuando:

Transponiendo términos:

Sacamos ahora factor común:

Luego:

Tercer caso

Si b = c = 0 ⇒ La ecuación

Se observa que la solución necesariamente es cero. Este 3.er caso muy poco es frecuente en las ecuaciones.

Estudio de la naturaleza de las raíces de una ecuación de 2.º Grado

Dada la ecuación de 2.º grado:

Sabemos que los valores de la incógnita (x) se obtiene mediante la siguiente fórmula:

Observamos que las raíces de la ecuación dependen de la cantidad subradical b^2 – 4ac.

Discriminante

Se denomina así a la cantidad subradical de la solución general b^2 – 4ac, y se le simboliza por la letra griega mayúscula Δ; es decir:

Ahora vamos a establecer casos, dependiendo del valor de la discriminante, así tenemos:

Primer caso:

Si Δ > 0, las raíces serán reales y diferentes.

Ejemplo 9

Resuelva:

Solución:

Cálculo del discriminante:

De aquí:

Las raíces son reales y diferentes.

Segundo caso

Si Δ = 0, las raíces serán reales e iguales; esto es, una raíz real doble.

Ejemplo 10

Resuelva:

Solución:

Análogamente:

En la solución general:

De aquí:

Tercer caso

Si Δ < 0, las raíces serán imaginarias y conjugadas.

Ejemplo 11

Resuelva:

Solución:

De igual manera:

donde Δ < 0, y en la solución general:

las cuales son imaginarias y conjugadas.

Ecuaciones de segundo grado gráfica

En esta sección vamos a graficar una ecuación de segundo grado para ver como se comporta en el plano cartesiano.

Sean las funciones:

Se obtiene la ecuación cuadrática:

De la igualdad (alfa), se deben calcular aquellos x (x1 y x2) para los cuales las ordenadas de ambas funciones (y1 y y2) son las mismas; es decir, geométricamente, hallar los puntos de intersección de las gráficas de estas funciones, como se muestra en la figura:

donde:

Ejemplo 12

Resuelve graficamente:

Esbozemos la gráfica de la función cuadrática:

Las abscisas de los puntos P y Q de intersección de la gráfica de F y el eje horizontal, nos representan las raíces o soluciones de la ecuación.
Observar que, para:

¿Cómo graficar ecuaciones de segundo grado?

En la ecuación cuadrática:

Sabemos que la naturaleza de sus raíces viene dada por el valor del discriminante Δ. Según esto, geométricamente, se obtienen gráficamente lo siguiente:

Propiedades de las raíces

Vamos analizar cómo poder realizar diferentes acciones con las raíces de una ecuación de segundo grado, teniendo presente siempre que a, b y c son los coeficientes de la misma.

Suma de las raíces:

Si en un problema, te piden encontrar la suma de las raíces, solo aplica la siguiente fórmula:

Producto de las raíces:

Si en un ejercicio te piden calcular el producto de las raíces de una ecuación de segundo grado, solo aplica la siguiente fórmula:

Diferencia de las raíces: (De la equivalencia de Legendre)

Ejemplo 13

En la ecuación

calcule la suma de sus raíces.

Solución:

De la ecuación se tiene:

Reemplazando en la propiedad indicada se tendrá:

Ejemplo 14

Dada la ecuación

calcule la suma de sus raíces.

Solución:

De la ecuación se tiene:

Entonces:

Diferencia de raíces

Raíces simétricas

Raíces recíprocas

Ejemplo 15

De la siguiente ecuación determina el valor de k para que una raíz sea dos veces más que la otra:

Solución:

De la suma de raíces obtenemos:

Por dato del problema:

Reemplazamos (2) en (1)

Del producto de raíces:

Propiedades particulares

Dadas las ecuaciones cuadráticas:

Si tienen las mismas soluciones, se cumple:

A) Son equivalentes, luego:

B) Tienen una raíz común: teorema de Bezout:

El valor de la raíz común se determina así:

Ejemplo 16

Sea las ecuaciones equivalentes:

Solución:

Por ser ecuaciones equivalentes:

Formación de la ecuación cuadrática a partir de sus raíces

si: x1 y x2 son raíces de una ecuación de segundo grado, entonces esta ecuación es de la forma:

Ejemplo 17

Forme una ecuación de segundo grado, cuyas raíces sean:

Solución:

Asumiendo que dichos valores son x1 y x2 respectivamente. Calculemos S y P por separado:

Aplicando la fórmula, se tiene:

Ejemplo 18

Dada la ecuación cuadrática

Los coeficientes a, b y c forman una progresión aritmética, si r1 y r2 son las raíces de la ecuación y cumplen:

Solución:

Si los coeficientes forman una progresión aritmética se cumplirá:

Luego, por propiedad sabemos que:

De (1) tenemos:

Resumen

Espero haberte podido ayudar a que hayas aprendido acerca de las ecuaciones de segundo grado. Como vez, solo te recomiendo practicar para que puedas adquirir mucha destreza y habilidad.

Te invito a que nos sigas en nuestro canal de YouTube Matemath, ya que siempre estamos subiendo y compartiendo diferentes temas del mundo de las Matemáticas.

Si quieres profundizar y aprender todas las materias de Ciencias, la plataforma Matemath es una buena opción, aquí vas a encontrar clases en vivo de manera diaria, mucho material para que puedas practicar, curos completos que podrás avanzar a tu ritmo y lo mejor de todo, el soporte que te brindamos para que siempre recibas acompañamiento con tus dudas.

Nos vemos en el siguiente artículo, adios!

Artículos relacionados

Categoría: Algebra

Sobre Marco Cabrejos

Ingeniero Mecánico de profesión, pero Profesor por vocación. Me apasiona enseñar Matemáticas, así que ando haciendo lo que me gusta. Leer más

Reader Interactions

Deja una respuesta Cancelar la respuesta

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *

Primary Sidebar

Suscríbete al Newsletter

Si quieres que te avise cada vez que haya un nuevo artículo o cuando programe una clase en vivo, regístrate al boletín.

Escribe aquí el nombre del tema que deseas encontrar

Suscríbete a nuestro canal de Youtube

Últimos Artículos

Como aprender matematicas
como alumno - La primera olimpiada fuera de lima
regla de compañía imagen de portada
TRIANGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES IMAGEN DE PORTADA
Trigonometria - Razones trigonometricas de angulos agudos
Movimiento circular uniforme portada

Resumen de últimos artículos

  • Identidades notables
  • Problemas con ecuaciones de segundo grado
  • Ecuaciones de segundo grado
  • Ecuaciones de primer grado
  • Trinomio al cuadrado
  • Cuadrado de la suma
  • Cuadrado de la diferencia
  • Binomio al cubo
  • Triángulos rectángulos notables
  • Binomio de Newton
  • Grado de un polinomio
  • Regla de compañía
  • Número combinatorio
  • Reparto proporcional
  • Factorial

Etiquetas

angulo trigonometrico binomio cardinal concurso interescolar conjunto vacio cuatro operaciones Curso integral diferencia simetrica dominio ecuaciones Ejercicios Propuestos PDF ejercicios resueltos examen de admisión examen de nombramiento Exponente exponente fraccionario expresiones algebraicas factorial funcion grado relativo grafica inclusion interseccion matemáticas mediana olimpiadas operador ordenamiento circular ordenamiento vertical pertenecia Potencia radical rango Reparto proporcional RM San Marcos sentido de giro subconjunto propio teoria de conjuntos teoria de exponentes trigonometría triángulo rectángulo union UNMSM índice

Contenido

  • 1 ¿Qué es una ecuación de segundo grado?
  • 2 Importante
    • 2.1 Ejemplo 1:
    • 2.2 Ejemplo 2:
  • 3 Clasificación:
    • 3.1 Ecuación de segundo grado completa
    • 3.2 Ecuación de segundo grado incompleta
  • 4 ¿Cómo resolver ecuaciones de segundo grado?
    • 4.1 Solución de una ecuación de segundo grado completa
      • 4.1.1 Método por factorización:
        • 4.1.1.1 ¿Cómo resolver ecuaciones de segundo grado por factorización?
        • 4.1.1.2 Ejemplo 1
        • 4.1.1.3 Ejemplo 2
        • 4.1.1.4 Ejemplo 3
  • 5 Ecuaciones de segundo grado fórmula general
    • 5.1 Ejemplo 4
    • 5.2 Ejemplo 5
    • 5.3 Ejemplo 6
  • 6 ¿Cómo resolver una ecuación de segundo grado incompleta?
    • 6.1 Primer caso
      • 6.1.1 Ejemplo 7
    • 6.2 Segundo caso
      • 6.2.1 Ejemplo 8
    • 6.3 Tercer caso
  • 7 Estudio de la naturaleza de las raíces de una ecuación de 2.º Grado
    • 7.1 Discriminante
    • 7.2 Primer caso:
      • 7.2.1 Ejemplo 9
    • 7.3 Segundo caso
      • 7.3.1 Ejemplo 10
    • 7.4 Tercer caso
      • 7.4.1 Ejemplo 11
  • 8 Ecuaciones de segundo grado gráfica
    • 8.1 Ejemplo 12
  • 9 ¿Cómo graficar ecuaciones de segundo grado?
  • 10 Propiedades de las raíces
    • 10.1 Suma de las raíces:
    • 10.2 Producto de las raíces:
    • 10.3 Diferencia de las raíces: (De la equivalencia de Legendre)
      • 10.3.1 Ejemplo 13
      • 10.3.2 Ejemplo 14
    • 10.4 Diferencia de raíces
    • 10.5 Raíces simétricas
    • 10.6 Raíces recíprocas
      • 10.6.1 Ejemplo 15
    • 10.7 Propiedades particulares
      • 10.7.1 Ejemplo 16
  • 11 Formación de la ecuación cuadrática a partir de sus raíces
    • 11.1 Ejemplo 17
    • 11.2 Ejemplo 18
  • 12 Resumen
  • 13 Artículos relacionados

Calendario de Publicaciones

enero 2021
LMXJVSD
 123
45678910
11121314151617
18192021222324
25262728293031
« Dic    

Aprende Matemáticas Ahora – Entra ya!

Historial de Post creados

Footer CTA

Conversa conmigo vía Messenger

Contactar Ahora
  • Sobre mi
  • Contáctanos
  • Blog
  • Afiliados

Copyright © 2021

Esta web utiliza cookies para mejorar su experiencia. Acepto Leer más
Privacy & Cookies Policy

Privacy Overview

This website uses cookies to improve your experience while you navigate through the website. Out of these cookies, the cookies that are categorized as necessary are stored on your browser as they are essential for the working of basic functionalities of the website. We also use third-party cookies that help us analyze and understand how you use this website. These cookies will be stored in your browser only with your consent. You also have the option to opt-out of these cookies. But opting out of some of these cookies may have an effect on your browsing experience.
Necesarias
Siempre activado

Necessary cookies are absolutely essential for the website to function properly. This category only includes cookies that ensures basic functionalities and security features of the website. These cookies do not store any personal information.

No necesarias

Any cookies that may not be particularly necessary for the website to function and is used specifically to collect user personal data via analytics, ads, other embedded contents are termed as non-necessary cookies. It is mandatory to procure user consent prior to running these cookies on your website.