Identidades notables

Hola! qué tal, en este artículo te voy a mostrar como desarrollar las principales identidades notables, de una manera simple y sencilla. También te daré varios ejemplos para que sepas como aplicar lo aprendido hoy, en los diferentes problemas que se puedan presentar.

Así que sin más, vamos a meterle mucha caña. Empecemos…

Identidades notables fórmulas

Los resultados de ciertas multiplicaciones indicadas que se pueden obtener de forma directa sin realizar la multiplicación, se conocen como identidades notables o también como productos notables.

En el álgebra son muy útiles pues nos harán ganar mucho tiempo al momento de ejecutar la solución de un problema.

Las principales identidades son:

• Binomio al cuadrado (Suma y diferencia)
• Suma por diferencia
• Binomio al cubo (Suma y diferencia)
• Suma de cubos
• Diferencia de cubos

Binomio al cuadrado

Esta identidad es una de las más utilizadas, y se puede presentar mediante una suma o diferencia, es por ello que vamos a segmentar y ver cada uno de los casos:

Cuadrado de la suma

Es cuando tenemos lo siguiente:

El resultado de operar a más b al cuadrado es: El primer término al cuadrado, más dos veces el primero por el segundo, más el segundo término al cuadrado.

Ejemplos

Resolver: (x + 5)²

Tendríamos como solución:

(x+5)² = x² + 2 (x) (5) + 5² = x² + 10x + 25

Resolver: (a + 2b)²

Tendríamos como solución:

(a + 2b)² = a² + 2 (a) (2b) + (2b)² = a² + 4ab + 4b²

Desarrollar: (2x + 3y)²

Aplicando la identidad notable:

(2x + 3y)² = (2x)² + 2 (2x) (3y) + (3y)² = 4x² + 12xy + 9y²

Desarrollar: (a^a + b^b)²

Aplicando la identidad notable:

Cuadrado de la resta

Es cuando tenemos lo siguiente:

El resultado de operar a menos b al cuadrado es: El primer término al cuadrado, menos dos veces el primero por el segundo, más el segundo término al cuadrado.

Ejemplos

Resolver: (x – 2)²

Aplicando la identidad notable, tendríamos como solución:

(x – 2)² = x² – 2 (x) (2) + 2² = x² – 4x + 4

Resolver: (3 – 7y)²

Aplicando identidades notables:

(3 – 7y)² = 3² – 2 (3) (7y) + (7y)² = 9 – 42y + 49y²

Desarrolla: (4x – 3y)²

Resolviendo por identidades notables

(4x – 3y)² = (4x)² – 2 (4x) (3y) + (3y)² = 16x² – 24xy + 9y²

Desarrolla:

Aplicamos identidad notable: Cuadrado de la resta

Suma por diferencia

A esta identidad también se le conoce como diferencia de cuadrados, consiste en multiplicar un binomio suma por un binomio resta. El resultado de esta operación es el siguiente:

Ejemplos

Resolver: (x + 5)(x – 5)

Al darle solución tendríamos:

(x + 5)(x – 5) = x² – 5² = x² – 25

Resolver: (x³ + 1)(x³ – 1)

Al darle solución tendríamos lo siguiente:

(x³ + 1)(x³ – 1) = (x³)² – (1)² = x⁶ – 1

Desarrollar:

Desarrollar:

Binomio al cubo

Consiste en elevar al cubo a la suma o diferencia de dos términos, el resultado ya ha sido estudiado y es el siguiente:

Cubo de la suma

Esto se dará cuando tengamos un binomio expresado como suma y elevado al cubo, la solución practica es la siguiente:

El resultado de operar x más y, elevado al cubo es: el primer término al cubo, más tres veces el primero al cuadrado por el segundo; más tres veces el primero por el segundo al cuadrado; más el segundo término al cubo.

Ejemplos:

Desarrollar: (a + 4)³

(a + 4)³ = a³ + 3 (a)² (4) + 3 (a) (4)² + (4)³ = a³ + 12a² + 48a + 64

Desarrollar: (2a + 3b)³

(2a + 3b)³ = (2a)³ + 3(2a)² (3b) + 3(2a)(3b)² + (3b)³ = 8a³ + 36a²b + 54ab² + 27b³

Cubo de la resta

Esta operación tendremos que aplicarla cuando se nos presente un binomio expresado como resta, y éste a su vez elevado al cubo. Su desarrollo general es:

El resultado de operar x menos y, elevado al cubo es: El primer término al cubo, más tres veces el primero al cuadrado por el segundo, más tres veces el primero por el segundo al cuadrado; más el segundo término elevado al cubo.

Ejemplos

Desarrollar: (m – 7)³

(m – 7)³ = m³ – 3 (m)² (7) + 3 (m) (7)² – 7³ = m³ – 21m² + 147m – 343

Desarrolla:

Suma de cubos

Esta expresión se va formar de sumar dos términos, ambos estarán elevados al cubo, el desarrollo es:

El primer término más el segundo; multiplicado por: el primero al cuadro, menos el primero por el segundo, más el segundo al cuadrado.

Ejemplos

Desarrollar: (x + 3y)(x² – 3xy + 9y²)

(x + 3y)(x² – 3xy + 9y²) = (x + 3y)(x² – (x)(3y) + (3y)²) = x³ + (3y)³ = x³ + 27y³

Desarrolla: (7a + 2b)(49a² – 14ab + 4b²)

(7a + 2b)(49a² – 14ab + 4b²) = (7a + 2b)((7a)² – (7a)(2b) + (2b)²) = (7a)³ + (2b)³ = 343a³ + 8b³

Diferencia de cubos

Esta expresión se forma cuando tenemos que restar dos términos, cada uno de ellos está elevado al cubo. Su desarrollo es el siguiente:

El primer término menos el segundo; multiplicado por: el primero al cuadrado, más el primero por el segundo, más el segundo al cuadrado.

Ejemplos

Desarrolla: (m – n²)(m² + mn² + n⁴)

(m – n²)(m² + m . n² + (n2)²) = (m)³ – (n²)³ = m³ – n⁶

Resuelve: (m³ – n)(m⁶ + m³n + n²)

(m³ – n)(m⁶ + m³n + n²) = (m³ – n)((m³)² + (m³)n + n²) = (m³)³ – n³
= m⁹ – n³

Identidades notables ejercicios

Vamos a resolver diversos ejercicios que se pueden presentar, donde tengamos que aplicar nuestros conocimientos de identidades notables.

Cuando estemos frente a un examen, no nos pondrán una aplicación directo, sino por el contrario, van a pedirnos que razonemos un poco antes de llegar a la respuesta.

Así que preparé unos cuantos ejercicios que te ayudarán a saber cuando aplicar cada una de las identidades, empecemos…

Ejercicio 1

Efectúa:

Solución:

Ejercicio 2

Efectúa:

Solución:

Ejercicio 3

Solución:

Ejercicio 4

Solución:

Ejercicio 5

Solución:

Ejercicio 6

Calcula:

Solución:

Ejercicio 7

Calcula:

Solución:

Aplicamos suma por diferencia:

Ejercicio 8

Efectúa:

Solución:

Dando forma:

Ejercicio 9

Calcula:

Solución:

Aplicando suma por diferencia:

Ejercicio 10

Solución:

Ejercicio 11

Solución:

Ejercicio 12

Solución:

Ejercicio 13

Sean x e y, que pertenecen a los números reales, calcula:

Solución:

Ejercicio 14

Reduce:

Solución:

Ejercicio 15

Efectúa:

Solución:

Ejercicio 16

Reduce:

Solución:

Ejercicio 17

Solución:

Ejercicio 18

Efectúa:

Solución:

Ejercicio 19

Efectúa:

Solución:

Ejercicio 20

Solución:

Resumen

Espero haberte podido ayudar con este artículo. Si quieres aprender mucho más, te invito a que puedas suscribirte a la plataforma Matemath, un lugar donde encontrarás todo lo que necesitas: Clases en vivo de manera diaria, cursos completos que podrás avanzar a tu ritmo, material de trabajo como guías de clase y separatas con ejercicios propuestos; exámenes y simulacros, y lo mejor de todo, mi soporte.

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Eso es todo por hoy, nos vemos en un siguiente artículo, Adiós!

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