Identidades notables

Hola! qué tal, en este artículo te voy a mostrar como desarrollar las principales identidades notables, de una manera simple y sencilla. También te daré varios ejemplos para que sepas como aplicar lo aprendido hoy, en los diferentes problemas que se puedan presentar.

Así que sin más, vamos a meterle mucha caña. Empecemos…

Identidades notables fórmulas

Los resultados de ciertas multiplicaciones indicadas que se pueden obtener de forma directa sin realizar la multiplicación, se conocen como identidades notables o también como productos notables.

En el álgebra son muy útiles pues nos harán ganar mucho tiempo al momento de ejecutar la solución de un problema.

Las principales identidades son:

  • Binomio al cuadrado (Suma y diferencia)
  • Suma por diferencia
  • Binomio al cubo (Suma y diferencia)
  • Suma de cubos
  • Diferencia de cubos

Binomio al cuadrado

Esta identidad es una de las más utilizadas, y se puede presentar mediante una suma o diferencia, es por ello que vamos a segmentar y ver cada uno de los casos:

Cuadrado de la suma

Es cuando tenemos lo siguiente:

binomio al cuadrado suma

El resultado de operar a más b al cuadrado es: El primer término al cuadrado, más dos veces el primero por el segundo, más el segundo término al cuadrado.

Ejemplos

Resolver: (x + 5)2

Tendríamos como solución:

(x+5)2 = x2 + 2 (x) (5) + 52 = x2 + 10x + 25

Resolver: (a + 2b)2

Tendríamos como solución:

(a + 2b)2 = a2 + 2 (a) (2b) + (2b)2 = a2 + 4ab + 4b2

Desarrollar: (2x + 3y)2

Aplicando la identidad notable:

(2x + 3y)2 = (2x)2 + 2 (2x) (3y) + (3y)2 = 4x2 + 12xy + 9y2

Desarrollar: (aa + bb)2

Aplicando la identidad notable:

Cuadrado de la resta

Es cuando tenemos lo siguiente:

binomio al cuadrado resta

El resultado de operar a menos b al cuadrado es: El primer término al cuadrado, menos dos veces el primero por el segundo, más el segundo término al cuadrado.

Ejemplos

Resolver: (x – 2)2

Aplicando la identidad notable, tendríamos como solución:

(x – 2)2 = x2 – 2 (x) (2) + 22 = x2 – 4x + 4

Resolver: (3 – 7y)2

Aplicando identidades notables:

(3 – 7y)2 = 32 – 2 (3) (7y) + (7y)2 = 9 – 42y + 49y2

Desarrolla: (4x – 3y)2

Resolviendo por identidades notables

(4x – 3y)2 = (4x)2 – 2 (4x) (3y) + (3y)2 = 16x2 – 24xy + 9y2

Desarrolla:

Aplicamos identidad notable: Cuadrado de la resta

Suma por diferencia

A esta identidad también se le conoce como diferencia de cuadrados, consiste en multiplicar un binomio suma por un binomio resta. El resultado de esta operación es el siguiente:

suma por diferencia

Ejemplos

Resolver: (x + 5)(x – 5)

Al darle solución tendríamos:

(x + 5)(x – 5) = x2 – 52 = x2 – 25

Resolver: (x3 + 1)(x3 – 1)

Al darle solución tendríamos lo siguiente:

(x3 + 1)(x3 – 1) = (x3)2 – (1)2 = x6 – 1

Desarrollar:

Desarrollar:

Binomio al cubo

Consiste en elevar al cubo a la suma o diferencia de dos términos, el resultado ya ha sido estudiado y es el siguiente:

Cubo de la suma

Esto se dará cuando tengamos un binomio expresado como suma y elevado al cubo, la solución practica es la siguiente:

cubo de la suma

El resultado de operar x más y, elevado al cubo es: el primer término al cubo, más tres veces el primero al cuadrado por el segundo; más tres veces el primero por el segundo al cuadrado; más el segundo término al cubo.

Ejemplos:

Desarrollar: (a + 4)3

(a + 4)3 = a3 + 3 (a)2 (4) + 3 (a) (4)2 + (4)3 = a3 + 12a2 + 48a + 64

Desarrollar: (2a + 3b)3

(2a + 3b)3 = (2a)3 + 3(2a)2 (3b) + 3(2a)(3b)2 + (3b)3 = 8a3 + 36a2b + 54ab2 + 27b3

Cubo de la resta

Esta operación tendremos que aplicarla cuando se nos presente un binomio expresado como resta, y éste a su vez elevado al cubo. Su desarrollo general es:

cubo de la resta

El resultado de operar x menos y, elevado al cubo es: El primer término al cubo, más tres veces el primero al cuadrado por el segundo, más tres veces el primero por el segundo al cuadrado; más el segundo término elevado al cubo.

Ejemplos

Desarrollar: (m – 7)3

(m – 7)3 = m3 – 3 (m)2 (7) + 3 (m) (7)2 – 73 = m3 – 21m2 + 147m – 343

Desarrolla:

Suma de cubos

Esta expresión se va formar de sumar dos términos, ambos estarán elevados al cubo, el desarrollo es:

suma de cubos

El primer término más el segundo; multiplicado por: el primero al cuadro, menos el primero por el segundo, más el segundo al cuadrado.

Ejemplos

Desarrollar: (x + 3y)(x2 – 3xy + 9y2)

(x + 3y)(x2 – 3xy + 9y2) = (x + 3y)(x2 – (x)(3y) + (3y)2) = x3 + (3y)3 = x3 + 27y3

Desarrolla: (7a + 2b)(49a2 – 14ab + 4b2)

(7a + 2b)(49a2 – 14ab + 4b2) = (7a + 2b)((7a)2 – (7a)(2b) + (2b)2) = (7a)3 + (2b)3 = 343a3 + 8b3

Diferencia de cubos

Esta expresión se forma cuando tenemos que restar dos términos, cada uno de ellos está elevado al cubo. Su desarrollo es el siguiente:

diferencia de cubos

El primer término menos el segundo; multiplicado por: el primero al cuadrado, más el primero por el segundo, más el segundo al cuadrado.

Ejemplos

Desarrolla: (m – n2)(m2 + mn2 + n4)

(m – n2)(m2 + m . n2 + (n2)2) = (m)3 – (n2)3 = m3 – n6

Resuelve: (m3 – n)(m6 + m3n + n2)

(m3 – n)(m6 + m3n + n2) = (m3 – n)((m3)2 + (m3)n + n2) = (m3)3 – n3
= m9 – n3

Identidades notables ejercicios

Vamos a resolver diversos ejercicios que se pueden presentar, donde tengamos que aplicar nuestros conocimientos de identidades notables.

Cuando estemos frente a un examen, no nos pondrán una aplicación directo, sino por el contrario, van a pedirnos que razonemos un poco antes de llegar a la respuesta.

Así que preparé unos cuantos ejercicios que te ayudarán a saber cuando aplicar cada una de las identidades, empecemos…

Ejercicio 1

Efectúa:

Solución:

Ejercicio 2

Efectúa:

Solución:

Ejercicio 3

Solución:

Ejercicio 4

Solución:

Ejercicio 5

Solución:

Ejercicio 6

Calcula:

Solución:

Ejercicio 7

Calcula:

Solución:

Aplicamos suma por diferencia:

Ejercicio 8

Efectúa:

Solución:

Dando forma:

Ejercicio 9

Calcula:

Solución:

Aplicando suma por diferencia:

Ejercicio 10

Solución:

Ejercicio 11

Solución:

Ejercicio 12

Solución:

Ejercicio 13

Sean x e y, que pertenecen a los números reales, calcula:

Solución:

Ejercicio 14

Reduce:

Solución:

Ejercicio 15

Efectúa:

Solución:

Ejercicio 16

Reduce:

Solución:

Ejercicio 17

Solución:

Ejercicio 18

Efectúa:

Solución:

Ejercicio 19

Efectúa:

Solución:

Ejercicio 20

Solución:

Resumen

Espero haberte podido ayudar con este artículo. Si quieres aprender mucho más, te invito a que puedas suscribirte a la plataforma Matemath, un lugar donde encontrarás todo lo que necesitas: Clases en vivo de manera diaria, cursos completos que podrás avanzar a tu ritmo, material de trabajo como guías de clase y separatas con ejercicios propuestos; exámenes y simulacros, y lo mejor de todo, mi soporte.

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Eso es todo por hoy, nos vemos en un siguiente artículo, Adiós!

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