Número combinatorio

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Hola gente que tal! como están? espero que muy bien, con muchas ganas de seguir aprendiendo conmigo. En esta oportunidad y si llegaste hasta aquí, es porque necesitas aprender sobre el número combinatorio, la verdad que antes de aprender yo también, pensaba que era super difícil, pero para nada.

Una vez que empieces a revisar lo que te traigo y mires todas las soluciones de los ejercicios resueltos, verás que no es nada del otro mundo. Ah! eso sí, te recomiendo que antes de seguir, respondas a la siguiente pregunta: Ya sabes que es el factorial de un número?, si tu respuesta fue un rotundo NO, entonces, mira el artículo que realice. Y, si la respuesta fue un si, sigamos adelante.

Este artículo está enfocado a la materia de álgebra, muy esencial e importante, porque como siempre digo, la usaremos en otras materias de la matemática y la física, entonces, vamos a meterle caña!.

Número combinatorio definición

El número combinatorio, es el resultado de hallar las Combinaciones de n elementos, tomados de k en k (n≥k), es el número de maneras en que se pueden agrupar los n elementos en grupos de k elementos, de tal manera que cada grupo se diferencie, por lo menos, en un elemento, sin interesar el orden de sus elementos.

Si esto te pareció un trabalenguas, permíteme darte un ejemplo sencillo para que lo entiendas:

¿De cuántas maneras se pueden agrupar 6 elementos tomados de dos en dos?

Vamos a decir que los elementos son: a, b, c, d, e y f

Si queremos organizarlos en grupitos de dos, tendríamos:

En general, se trata de agrupar n elementos tomados de k en k. El número de maneras se obtiene a partir de la fórmula matemática:

Fórmula:

Esta sería la fórmula que usaremos para calcular el combinatorio:

Veamos un ejemplito para usar la fórmula:

¿Cuántos grupos de 2 elementos se puede formar con un total de 4 elementos?

Para 4 elementos tomándolos de 2 en 2 resulta:

Regla practica:

Es decir, debemos guiarnos simplemente por el factor k, el índice que aparece abajo, ese será el que nos dirá cuantos términos deben multiplicarse arriba y abajo.

Veámoslo con un ejemplito sencillo:

Número combinatorio propiedades

Quiero que prestes por favor, mucha atención a cada una de las siguientes propiedades, por que esto es la carnecita del tema, el que sepas como aplicar las propiedades, para ello es necesario que conozcas exactamente como se desarrollan.

Combinaciones complementarias

Estamos observando que para ciertos números combinatorios, esta propiedad, nos permite reducir sus índices inferiores.

Observación importante:

Aplicando la definición del número combinatorio:

Convencionalmente, para que esta igualdad esté definida, se concluye que:

Finalmente será correcto afirmar lo siguiente:

Consecuencia de la propiedad:

Debemos tener en cuenta, que las igualdades resultantes, son relaciones mutuamente excluyentes. Es decir, una de ellas es independiente de la otra.

Ejemplo del combinatorio complementario

Calcule el valor de “m+p” en:

Solución:

Observar que las ecuaciones (I) y (II), no forman un sistema, ya que estas igualdades son completamente independientes.

Suma de combinaciones

fíjate que podemos sumar dos combinaciones que tienen igual índice superior, pero los índices de la parte inferior deben ser consecutivos, esto provocará que el resultado sea el combinatorio del consecutivo superior y el mayor de los consecutivos inferiores.

Mirémoslo con los siguientes ejemplos:

Suma de combinaciones – Examen de admisión

Esta pregunta vino en un examen de admisión de una universidad peruana y decía así:

Calcule la suma de la serie:

Solución:

Para poder solucionar este problema, vamos a realizar un artificio muy útil, así que apréndelo:

Vamos a sumar y restar el combinatorio de 4 en 0 (El famoso pon y quita o quita y pon) esto con la finalidad de no alterar el enunciado principal.

Degradación de índices

Una de las cosas más usadas cuando necesitamos resolver ejercicios de combinatorio, es degradar índices.

Seguramente como yo, te preguntarás, ¿Qué es degradar índices?, pues la respuesta es muy sencilla, consiste en reducir el índice en una unidad.

Podemos degradar el índice superior, el inferior o los dos a la vez. Veamos cada uno de ellos:

Ambos índices:

degradación de ambos índices en el número combinatorio

Estos son algunos ejemplos de la aplicación:

Sólo el índice superior

Miremos un par de ejemplos sencillos al aplicar esta propiedad:

Sólo el índice inferior

Degradación de índices – Examen de admisión

Veamos ahora, un ejercicio con nivel. Es decir que vino en una prueba, para el ingreso a la universidad:

Ejercicio 1

Resuelva:

Solución:

Por la propiedad de degradación de ambos índices:

En el primer miembro, degradamos el índice inferior para tener una igualdad:

Simplificando: m – 4 = 3

Por lo tanto, el valor de m es 7

Número combinatorio ejercicios resueltos

Ahora si entramos a lo que quieres ver, la solución de ejercicios propuestos.

Presta mucha atención, para que nada se te escape.

Ejercicio 1

Calcula el producto de los valores de “x” en la igualdad:

Solución:

Ejercicio 2

Calcula el menor valor de “a+b” en:

Solución:

Ejercicio 3

Identifica las igualdades correctas:

Solución:

Ejercicio 4

Calcula el resultado de:

Solución:

Ejercicio 5

Simplifica:

Solución:

Ejercicio 6

Calcula el menor valor de “a+b” al resolver:

Solución:

Ejercicio 7

Halla el valor de “n” en:

Solución:

Ejercicio 8

Simplifica la expresión:

Solución:

Ejercicio 9

¿Qué valor de “n” verifica la igualdad?

Solución:

Pasando la unidad al primer miembro, y expresándolo como un número combinatorio, así:

Ahora en el segundo miembro, aplicamos la degradación del índice superior:

Ejercicio 10

Reduzca:

Solución:

Se sabe que:

Número combinatorio Clase completa

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Espero que te haya sido de mucha utilidad.

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