Problemas con ecuaciones de segundo grado

Hola gente que tal! Hoy voy a resolver varios ejercicios sobre problemas con ecuaciones de segundo grado. En un post anterior, me dediqué a explicarte todo el marco teórico; conceptos, propiedades, procedimientos, etc.

En el argot criollo, ya te di todas las herramientas que son necesarias. Ahora, solo tienes que ver como aplicarlas en los diferentes problemas que se puedan presentar. Entonces, vamos por ello.

Problemas con ecuaciones de segundo grado ejercicios

Vamos a meterle mucha caña, ya verás que sí.

Ejercicio 1

Resuelva:

Solución:

Analizando el discriminante (Δ) podemos deducir a priori cómo será la naturaleza de las raíces a calcular.

De la ecuación se tiene:

Entonces las raíces a obtenerse serán 2 raíces reales y diferentes.

Luego decimos que se cumple en las raíces lo que deducimos antes de resolver la ecuación.

Ejercicio 2

Resuelva la siguiente ecuación:

Solución:

De la ecuación:

Luego de las raíces a obtenerse serán 2 raíces reales y diferentes.

Ejercicio 3

Resuelva: 4x² – 12x + 9 = 0

Solución:

De la ecuación:

Las raíces a obtener serán 2 raíces iguales.

Ejercicio 4

Resuelva: 9x² – 30x + 29 = 0

Solución:

Como:

Las raíces a obtenerse serán 2 raíces complejas conjugadas.

Las soluciones son:

Ejercicio 5

Resuelva (aplicando factorización):
5x² + 4x – 1 = 0
Indique como respuesta el quíntuplo de una de las raíces.

Solución:

El quíntuplo sería:

Ejercicio 6

Resuelva (aplicando fórmula general):
3x + 2x – 1 = 0
Indique como respuesta la mitad de una de las raíces.

Solución:

Según la fórmula:

donde: a = 3 , b = 2 , c = –1

La mitad será:

Ejercicio 7

Resuelva:
x² + 6x + 4 = 0
Indique como respuesta una de las raíces aumentada en 3.

Solución:

Aplicando la fórmula general:

Ejercicio 8

Resuelva x² + x – 3 = 0 e indicar la mayor raíz.

Solución:

Reemplazando en la discriminante:

Ejercicio 9

Si la ecuación x² – 4x + 2 = 0 presenta como raíces a x₁ y x₂,

Calcule x₁² + x₂²

Solución:

Por propiedades:

Elevando (I) al cuadrado:

Ejercicio 10

Si x₁ y x₂ son las raíces de la ecuación de segundo grado:

x² – (4 + k)x + 12 = 0, calcule k tal que:

Solución:

Por propiedad se tiene:

Reemplazando del dato:

En aspa: 4 + k = 9
Por lo tanto, k = 5

Ejercicio 11

Vamos a resolver un ejercicio de ecuaciones de segundo grado con fracciones

Resuelva la ecuación:

Solución:

Todo por el MCM: (x + 3)(x + 1)

Ejercicio 12

Una de las raíces de una ecuación de segundo grado es . Halle dicha ecuación con coeficientes racionales.

Solución:

Ejercicio 13

Sea la ecuación (m + 3)x² – 3(m – 1)x + 6 – m = 0. Calcule el valor de m si:
i) las raíces son simétricas.
ii) las raíces son recíprocas.
iii) una de sus raíces es 1.

Solución:

i) Raíces simétricas:

ii) Raíces recíprocas:

iii) x = 1

Ejercicio 14

Si una raíz es la opuesta de la otra. Halla 2m + 1 en:
(m – 1)x² + (5m + 15)x + 2 = 0

Solución:

Ejercicio 15

En la ecuación: 2x² -(m – 1)x +(m + 1) = 0
¿Qué valor positivo debe darse a m para que las raíces difieran en uno?

Solución:

Sabemos que:

Ejercicio 16

Forma la ecuación de segundo grado cuyas raíces son 1/2 y 1/7.

Solución:

Ejercicio 17

Resuelve:
(x – 3)² + (x – 4)² = (x – 2)²

Solución:

Desarrollamos cada binomio y así tenemos:

Ejercicio 18

Dada la ecuación cuadrática:
P(x) = x² + a²x + a = 0,
donde: x₁ y x₂ son raíces de la ecuación.
Halla: x₁ + x₂ + (x₁ . x₂)²

Solución:

De la ecuación:

Ejercicio 19

Calcula el valor de m para que la ecuación:
6x² + (2m + 3)x + m = 0; tenga solo una raíz.

Solución:

Del enunciado, se deduce:

Ejercicio 20

Calcula el valor de (m – 2n), si la ecuación:
5(m + n + 18)x² + 4(m – n)x + 3mn = 0; es incompatible.

Solución:

Si es incompatible, entonces:

Resumen

Espero haber podido aportar con este artículo y que hayas aprendido mucho de como resolver las ecuaciones de segundo grado.

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Si los ejercicios te sirvieron, pero necesitas aprender más la parte teórica, recuerda que hicimos un artículo sobre ecuaciones de segundo grado, donde veíamos toda la parte conceptual.

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Esto es todo por el momento, nos vemos pronto, adiós.

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