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Sistema de ecuaciones lineales

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Hola qué tal, hoy vamos a desarrollar dentro de la plataforma Matemath, todo el tema de Álgebra, titulado: "Sistema de Ecuaciones Lineales", vamos a empezar con un poco de teoría, porque siempre es básica antes de aplicarla en los ejercicios; para responder a las preguntas más comunes que siempre nos hacemos.

Empecemos entonces!

¿Qué es sistema de ecuaciones lineales?

Es un conjunto formado por dos o más ecuaciones, con dos o más incógnitas. Su solución es común a todas ellas.

Ejemplos:

¿Qué es sistema de ecuaciones lineales 2x2?

Pues básicamente, es un sistema que presenta 2 ecuaciones y 2 incógnitas.

También se le conoce como sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas

Mira el siguiente ejemplo:

Sistema de ecuaciones lineales con dos variables

Es el trabajo más común que se realiza dentro de las matemáticas, desarrollar o resolver un sistema que presente dos ecuaciones y a su vez dos variables.

Existen métodos muy prácticos para que podamos resolver esto.

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Métodos para resolver sistemas lineales

Igualación

Este método consiste en despejar la misma incógnita de ambas ecuaciones y luego igualarlas para calcular el valor de la otra variable.

Ejemplo:

Resuelva el sistema:

Paso 1:

Despejamos la variable "y" en la ecuación (1)

Paso 2:

Despejamos "y" ahora, en la ecuación (2)

Paso 3:

Ahora, ambas ecuaciones son iguales:

Sustitución

Consiste en despejar de una de las ecuaciones, una de las incógnitas y sustituirla (reemplazarla) en la otra ecuación.

Ejemplo:

Resuelva el sistema:

Paso 1:

De la ecuación (1) despejamos la variable "x":

Paso 2:

Sustituimos la variable "x" en la ecuación (2)

Entonces y=3

Reemplazamos el valor "y" en alfa:

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Reducción

Se trata de eliminar una de las variables (la que sea más simple) para calcular otra de la(s) variable(s).
En algunos casos la reducción no es sencilla, se multiplicará por una cantidad a una u otra ecuación para luego reducirla.

Ejemplo:

Sumando las ecuaciones (I) y (II) miembro a miembro, entonces:

Entonces: x = 3

Reemplazando en (I) el valor de x:

Entonces: y = 2

Por lo tanto:

Sistema de ecuaciones lineales método gráfico

Las ecuaciones presentadas en un sistema, se pueden graficar en el plano cartesiano, simplemente haciendo una tabulación y dando valores a x, para luego encontrar y.

Así tenemos, de los ejercicios anteriores:

En el método de igualación:

La solución al sistema de ecuaciones lineales, la encontramos en el punto de intersección de ambas rectas

Veamos ahora, la gráfica que se forma al resolver otro sistema de ecuaciones:

En el método de sustitución:

En el punto de intersección de ambas rectas, encontramos la solución al sistema de ecuaciones lineales.

En el método de reducción:

Sistema de ecuaciones lineales 3x3

Se le llama así, a un sistema que presenta 3 ecuaciones y 3 incógnitas, la solución de este, la podremos conseguir utilizando determinantes.

Pero antes, vamos a explicarte un método que no solo te servirá para desarrollar sistemas de 3 variables, sino que también aplica para 2.

Regla de Cramer

Este método se utiliza cuando el número de ecuaciones es igual al número de variables (en nuestro caso dos ecuaciones con dos incógnitas ó tres ecuaciones con tres incógnitas).
La regla de Cramer es el método que da solución a este sistema y basa en el concepto de determinantes.

Dado un sistema lineal con coeficientes literales:

La solución del sistema de ecuaciones está dado por:

Siempre que el determinante del sistema, sea diferente de cero.

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Ejemplo:

Veamos un ejemplo de cómo aplicar el método de Cramer a un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas

Resuelva el sistema:

Aplicando el método de las determinantes, tenemos:

Luego:

Por lo tanto: CS ={(5, 3)}

Su mejor aplicación la podremos ver, cuando tengamos que resolver, sistema de ecuaciones 3x3.

Así tenemos:

Sistema de ecuaciones con tres variables

Dado el sistema:

Se define:

Luego:

Ejemplo:

Halla el conjunto solución del sistema:

Calculamos el determinante del sistema:

Calculamos el determinante Dx.

Calculamos el determinante de Dy.

Calculamos el determinante de Dz.

Luego:

Entonces: C.S. = {(1 ; 2 ; –3)}

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Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales

Siempre están presentes las siguientes preguntas?

¿Cuando un sistema de ecuaciones lineales no tiene solución?

Esto se produce cuando el sistema sea incompatibe.

Sistema Incompatible (No existe solución)

Veámoslo de la siguiente manera, para entenderlo mejor.

Sea el siguiente sistema:

La incompatibilidad se presentará en el siguiente caso:

Así tenemos:

Las rectas son paralelas, es decir, no hay cortes entre ellas, por lo tanto no hay solución.

¿Cuando un sistema de ecuaciones lineales tiene solución única?

Se produce cuando el sistema es compatible y determinado.

Sistema Compatible Determinado (Solución única)

Veamos el siguiente ejemplo, para entenderlo mejor

Sea el siguiente sistema:

La compatibilidad determinada, se produce cuando:

En este caso las rectas se intersectan en un solo punto.

Así tenemos:

Para este caso el corte entre ambas rectas nos indica la única solución que existe.

¿Cuando un sistema de ecuaciones lineales tiene infinitas soluciones?

Se produce cuando el sistema es compatible e indeterminado.

Sistema Compatible indeterminado (Infinitas soluciones)

Para un fácil entendimiento, veamos lo siguiente:

Se cumple que:

Así tenemos:

En este caso las rectas se intersectan en apariencia pues las rectas están superpuestas, debido a esto hay infinitos cortes, entonces infinitas soluciones.

Toda la teoría

Esto es todo en cuanto a teoría, espero que te haya podido servir de mucho... ¡Pero esto recién empieza, así que te invito a que sigas leyendo este artículo, que ahora le metemos duro a los ejercicios de aplicación.

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Sistema de ecuaciones lineales ejercicios

Vamos a empezar con lo que seguramente estabas esperando, la resolución de problemas. Iniciaremos con problemas sencillos y poco a poco elevaremos el nivel, esto encajará muy bien, para estudiantes de Secundaria, bachillerato y ESO.

Ejercicio 1

Resuelve el sistema:

Solución:

Tenemos:

En este primer ejercicio aplicaremos el método de reducción. Para ello haremos un artificio, a la ecuación (2)vamos a multiplicarla por 2 a todos sus términos, tanto en el primer miembro como en el segundo.

Luego, sumaremos de forma vertical.

Por lo tanto, en (2)

4(7) + y = 30 ⇒ y = 2

Entonces: C.S. = {(7 ; 2)}

Ejercicio 2

Halla el valor de xy.

Solución:

Tenemos que:

En este caso, vamos aplicar el método de sustitución, ya que el problema tiene despejada la variable y, por lo que, podemos reemplazar en la ecuación (1)

En (2): 2(3) – 1 = y ⇒ y = 5

Piden: x . y = 3 . 5 = 15

Ejercicio 3

Sistema de ecuaciones lineales fracciones

Calcula el valor de X

Para este problema, volveremos aplicar el método de reducción. El artificio que usaremos, será multiplicar por 2 a la ecuación (2).

Veamos como nos queda:

Ejercicio 4

Dado el sistema, halla x-y

¿Cómo resolver sistema de ecuaciones lineales?

Para este ejercicio seguiremos aplicando el método de reducción, el artificio que usaremos, será restar toda la ecuación (1) con la (2), para buscar la forma que no indica el problema.

Problemas con sistema de ecuaciones lineales

En esta oportunidad, vamos aplicar en la solución de un ejercicio la regla de Cramer

Resolver:

Piden: C.S. = {(2 ; 5)}

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Ejercicio 6

Determina el valor de m si se sabe que el sistema es incompatible.

Para que un sistema sea incompatible, se debe cumplir que:

Entonces:

Ejercicio 7

Resuelve el sistema:

Tenemos que:

Sistema de ecuaciones lineales ejercicios resueltos

Vamos a empezar a elevar un poco el nivel de los ejercicios. Presta mucha atención en la solución de estos.

Ejercicio 8

Resuelve

Tenemos que:

Si aplicamos el método de sustitución y utilizamos el artificio de multiplicar por 3, la ecuación (2), para luego sumar ambas ecuaciones.

Reemplazamos en la ecuación (1)

Ejercicio 9

Si ab ≠ 0, señala el valor de N = bx – ay.

Para la solución de este problema, hemos utilizamos el siguiente artificio:

Vamos a multiplicar a la ecuación primera, por la variable "b" y la ecuación segunda por la variable "a". De esta forma, conseguimos que se igualen, para aplicar el método de sustitución.

Fíjate muy bien, lo que obtenemos:

Si reemplazamos esto, en la primera ecuación, obtenemos:

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Ejercicio 10

Resuelve el siguiente sistema:

Para la solución de este ejercicio, vamos aplicar el método de Cramer.

Hallamos:

Entonces:

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Mas Información

Sistema de ecuaciones lineales ejercicios propuestos

Qué te parece si ahora nos ponemos a prueba?

Aquí te dejo algunos ejercicios propuestos para que desarrolles destreza y habilidad.

Hagamos un trato, si este artículo te ha servido y has podido entender todo lo relacionado a los sistemas de ecuaciones lineales , déjame en los comentarios las respuestas a las siguientes preguntas:

Pregunta 1

Pregunta 2

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Pregunta 3

Pregunta 4

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Problema 5

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