Razones y Proporciones

Aritmetica - Razones y proporciones
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Hola chicos como están? Hoy Matemath vuelve para desarrollar un tema nuevo y esta vez le toco el turno a las Razones y Proporciones. Lo vamos a trabajar enfocado a la Aritmética para poder adicionarle otros conceptos que son importantes sobre todo al momento de resolver ejercicios. Sin más, vamos a verlo.

Vídeo 1 – Razones y Proporciones

Recuerda que puedes seguir y aprender toda la clase con nuestros vídeos, pero si lo tuyo es ver más a fondo el tema, te invito a seguir todo el artículo.

Razón o Relación

Es el resultado de comparar dos cantidades por medio de una diferencia o por medio de un cociente.

Razón Aritmética

Consiste en determinar en cuanto excede una de las cantidades a la otra. Esto viene a ser una comparación entre dos cantidades por medio de una diferencia.

ejemplo de razón aritmética

Términos de la razón aritmética

Los términos de la razón aritmética son el antecedente y consecuente.

términos de la razón aritmética
  • Una razón Aritmética es positiva cuando el antecedente es mayor que el consecuente.
  • Una razón aritmética es negativa cuando el antecedente es menor que el consecuente.

Razón Geométrica

Consiste en determinar cuantas veces una de las cantidades contiene a la otra. Esto viene a ser una comparación por medio de un cociente.

ejemplo de razón geométrica

Términos de la razón geométrica

Los términos de la razón geométrica son el antecedente y consecuente.

términos de la razón geométrica

Proporción

Es la comparación de dos razones iguales ya sean aritméticas o geométricas.

Proporción Aritmética

Es la comparación de dos razones aritméticas iguales.

ejemplo de proporción aritmética

En general:

Proporción aritmética términos

Clases de Proporciones Aritméticas

Proporción Aritmética Discreta

Es aquella cuyos términos son diferentes.

ejemplo de proporción aritmética discreta

En toda proporción aritmética se debe cumplir que la suma de los términos extremos es igual a la suma de los términos medios.

Si tomamos como referencia el ejemplo anterior: 11 + 3 = 5 + 9

Proporción Aritmética Contínua:

Es aquella cuyos términos medios son iguales, llamándose a cada uno de los términos medios: Media diferencial o media aritmética

ejemplo de proporción aritmética contínua

En la proporción aritmética contínua, se cumple que la media diferencial es igual a la semisuma de los extremos.

Para nuestro ejemplo tendríamos que: (9 + 3) / 2 = 6

¿Cómo se halla la media diferencial?

Se forma una proporción aritmética con los dos números dados y con “x”, colocándose este último como término medio repetido, luego se halla el valor de “x” que es la media diferencial.

ejemplo de como hallar la media diferencial

La media diferencial de 8 y 2 es 5.

¿Cómo se halla la tercia o tercera diferencial?

Se forma una proporción aritmética con los dos números dados y con “x”. Repitiéndose como medio uno de los números dados. Se halla el valor de “x” y esa es la tercia diferencial.

La tercera diferencial de 2 y 8 es 14

¿Cómo se halla la cuarta diferencial?

Se forma una proporción aritmética con los tres números dados y con “x”, colocándolos en cualquier orden (x debe ir en la cuarta posición). Se halla el valor de “x” y ese es la cuarta diferencial.

Ejm: Halla la cuarta diferencial de 10, 4 y 8

ejemplo de como hallar la cuarta diferencial

Proporción Geométrica

Es la comparación de dos razones geométricas iguales.

ejemplo de proporción geométrica

En general:

Clases de Proporciones Geométricas

Proporción Geométrica Discreta

Es aquella cuyos términos son diferentes:

En toda proporción geométrica debe cumplirse que el producto de los términos extremos es igual al producto de los términos medios.

Tomando el ejemplo anterior: 12 x 2 = 3 x 8 = 24

Proporción geométrica continua

Es aquella cuyos términos medios son iguales, llamando a cada uno de los términos medios: Media proporcional o media geométrica.

En la proporción geométrica continua se cumple que la media proporcional es igual a la raíz cuadrada del producto de los términos extremos.

¿Cómo se halla la media proporcional?

Se forma una proporción geométrica con los números dados y con “x”, colocando “x” dos veces como término medio repetido. Se halla el valor de “x”, ese valor es la media proporcional.

Ejemplo: Halla la media proporcional de 12 y 3

Los números dados, se distribuyen de la siguiente manera:

Luego, la media proporcional de los números 12 y 3 es 6.

¿Cómo se halla la tercera proporcional?

Se forma una proporción geométrica con los dos números dados y con “x”, repitiéndose como término medio uno de los números dados. Se halla el valor de “x” y ese valor es la tercera proporcional.

Ejm: Halla la tercera proporcional de 2 y 8

Los números dados se distribuyen de la siguiente manera:

¿Cómo se halla la cuarta proporcional?

Se toma una proporción geométrica con los tres números dados y con “x”, colocándolos en cualquier orden (con todo será práctico colocar “x” en cuarto lugar). Se halla el valor de “x” y ese valor es la cuarta proporcional.

Ejm: Halla la cuarta proporcional de 10, 5 y 18.

Los números dados, se distribuyen de la siguiente manera:

La tercera proporcional de 10, 5 y 18 es 9

Teoremas sobre sumas y diferencias en una proporción geométrica

Teorema 1

Se conserva la proporción:

  1. Si al antecedente de cada razón se le agrega el consecuente.
  2. Si al antecedente de cada razón se le quita su consecuente.

Corolario:

En toda proporción geométrica:

  1. La suma de los términos de la primera razón es a su consecuente como la suma de los términos de la segunda razón es a su consecuente.

  1. La diferencia de los términos de la primera razón es a su consecuente como la diferencia de los términos de la segunda razón es a su consecuente.

Teorema 2

Se conserva la proporción:

  • Si al consecuente de cada razón se agrega su antecedente.
  • Si al consecuente de cada razón se quita su antecedente

Corolario:

En toda proporción geométrica:

  • La suma de los términos de la primera razón es a su antecedente como la suma de los términos de la segunda razón es a su antecedente.
  • La diferencia de los términos de la primera razón es a su antecedente como la diferencia de los términos de la segunda razón es a su antecedente.

Teorema 3

  • La suma de los antecedentes es a la suma de los consecuentes como un antecedente es a su consecuente.
  • La diferencia de los antecedentes es a la diferencia de los consecuentes como un antecedente es a su consecuente.

Teorema 4

La suma de los antecedentes es a su diferencia como la suma de los consecuentes es a su diferencia.

Teorema 5:

En una serie de razones iguales, la suma de los antecedentes es a la suma de los consecuentes como un antecedente cualquiera es a su respectivo consecuente.

Razones y proporciones ejercicios resueltos

Vamos a resolver ejercicios que es lo que nos gusta e interesa, te explicaré algunos caminos que debes tomar para llegar a la respuesta.

Ejercicio 1

La razón aritmética de dos números es 20 y su razón geométrica es 2 1/3. Hallar el mayor de los dos números.

Solución 1

Como no tenemos ningún dato de cuales son esos números, debemos asumir variables. Elige las que tu quieras, yo tomaré las siguientes:

Siendo “a” y “b” los números, tu tienes que buscar plantear ecuaciones con los datos que te dan, estas serían: a – b = 20 (ecuación 1) y a / b = 2 1/3 (se recomienda convertir el número mixto a fracción)

Ejercicio 2

Dos números son entre sí como 5 es a 3. Si la diferencia de sus cuadrados es 64. Hallar el menor de dichos números.

Solución 2

Todo el problema gira en torno a dos números, como no sabemos cuales son, diremos: Sean los números “a” y “b”

Ahora tenemos que buscar plantear ecuaciones con los datos que nos dan, la primera sale de: “Dos números son entre sí como 5 es a 3”

La segunda ecuación la vamos obtener del siguiente enunciado: “La diferencia de sus cuadrados es 64”

Vídeo 2 – Razones y Proporciones

Ejercicio 3

La razón geométrica de las raíces cuadradas de dos números es como 1 es a 3. Si la suma de dichos números es 160. Halla el menor de los dos números.

Solución 3

Debo asumir como en los ejercicios anteriores que los números serán: “a” y “b”. Luego de ello, trataré de plantear ecuaciones para hallar dichos valores.

La primera, sale del enunciado: “La razón geométrica de las raíces cuadradas de dos números es como 1 es a 3”

La segunda ecuación la obtenemos del enunciado: “La suma de dichos números es 160”

Ejercicio 4

Si: a/2=b/4=c/6   y  2a + b – c = 14. Hallar el valor de: a + 3b -2c

Solución 4

Debemos igualar la serie de razones geométricas a una constante “K”, esto nos ayudará a poder tener valores preliminares de todas las variables en función de K

Luego en la segunda ecuación: 2a + b – c = 14 obtendremos el valor de K. Hecho esto, el ejercicio está resuelto pues reemplazando K en a, b y c puedo dar respuesta a los que me piden.

Vídeo 3 – Razones y Proporciones

Ejercicio 5

Si: 3/a=4/b=5/c=2/d   y   5a – 2c = 20. Halla el valor de: a + 3b – 4d

Solución 5

Como en el ejercicio anterior, en la primera serie de razones geométricas debo igualar todo a una constante “K”, con el fin de encontrar el valor de: a, b, c y d en función de K

Como ya puedes imaginar, lo que sigue es reemplazar estos valores en la segunda ecuación que me brinda el problema:

Ahora te toca reemplazar el valor de K en cada una de las variables y a partir de aquí encontrar el valor que te pide el ejercicio.

Ejercicio 6

Tres números enteros son entre sí como 4, 7 y 12. Si la diferencia de dos de ellos es 55. Hallar el otro número.

Solución 6

Lo primero es formar mi serie de razones geométricas con el enunciado: “Tres números enteros son entre sí como 4, 7 y 12”

Ahora debemos encontrar la diferencia de dos de ellos para que el resultado nos de 55, ten en cuenta que la diferencia de los dos números debe resultar un número entero

Vídeo 4 – Razones y proporciones

Razones y Proporciones ejercicios resueltos PDF

Aquí te voy a dar un enlace para que puedas descargarte más ejercicios y puedas practicar, recuerda que para que adquieras mucha destreza debes seguir practicando, es la única forma de que seas un maestro.

Conclusiones

Listo chicos hemos desarrollado este tema explicándolo de manera simple y sencilla, abarcamos todos los conceptos teóricos importantes y que los vas a usar siempre al momento de resolver ejercicios.

Tu mismo te darás cuenta que aplicarás las razones y proporciones en muchas materias. Aritmética, Algebra, Geometría y Razonamiento Matemático. Por esto es indispensable que lo aprendas. Vuelve a practicar lo que ya está resuelto y luego pasa a los ejercicios propuestos.

Recomendación

La recomendación de hoy viene por el lado de la motivación y un tip que te ayudará a encontrar el camino correcto. Es un capítulo del podcast “Aprendiendo Mates” que se titula: ¿Qué es un mentor? – ¿Necesitas uno?

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Respuestas

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  1. wow! de verdad que usted explica excelentemente. muchísimas gracias por sus ejercicios y su manera de enseñar. Ojalá mis profesores de secundaria me hubieran dado las clases asi como usted .. 🙂

    1. Muchísimas gracias Giovanna por tus palabras, que gusto que hayas podido aprender con este artículo. Un abrazo y estamos a la orden.

  2. hola quiero saber como se saca la cuarto proporcional de 1/3 y 5/6 si me podra ayudar te lo agardesco

    1. Hola, para poder sacar la cuarta proporcional, necesitas tener tres datos y en el texto que me das, solo me das dos de ellos; estaría faltando un dato más.

  3. hola me podría ayudar con estos ejercicios
    1. Si (2ab) ̅/(ba2) ̅ =1/2 hallar a+b
    2. Hallar a y b en la proporción ((ab) ̅-1)/((ba) ̅-1)=2/1

  4. Buenas me podría ayudar con estos 2 ejercicios?
    1. el peso de Rosa es al peso de Manuel como 7 es a 6, y el peso de Manuel es al de Evelyn como 3 es a 4. si Rosa y Evelyn pesan juntas 105kg, calcule el peso de Rosa.

    2.si: a1/1=a2/2=a3/3=…=a10/10, además: a3+a7+a9=76
    Calcular: E=a1+a2xa4+a5xa6
    Por favor, me haría de mucha ayuda
    PD: Explica muy bien.

  5. buenas me podría ayudar en este ejercicio?
    .a una reunión asistieron hombres, mujeres y niños en la relación de 11; 7 y 2 respectivamente. Si asistieron 36 hombres mas que mujeres. ¿Cuantos niños asistieron?

  6. Necesito ayuda!
    La suma de 2 números es igual a 23.
    La razón entre uno de ellos 15/2 es 6/5.
    La razón de los otros dos es 2/5.

  7. Hola, por favor me puedes ayudar con este ejercicio. Gracias

    En un instante dado, la longitud de una sombra es directamente proporcional a la altura del objeto que la produce. Si un poste de 2 m de altura proyecta una sombra de 0.8 m de largo. ¿Cuál es la altura de un árbol cuya sombra es de 4 m?

  8. Me es de gran utilidad para lo explicado pero me gustaría pedir el favor que me explicara el siguiente ejercicio:
    Si la razon entre dos numeros es de 1 a 2 si el número mayor se aumenta en 4 unidades y el menor disminuye en 2 unidades. La razón es de 1a 6 estos son los numeros:
    A=4y 8
    B=2y 4
    C=5y10
    D=3y 6

  9. 16. Dos números están en la misma proporción que los números 2 y 5. Si se aumenta 75 a uno de ellos y 15 al otro, se obtendrían cantidades iguales ¿Cuál es el menor?
    Procedimiento

    Respuesta:

    17. Sabiendo que:
    i. “T” es la tercera proporcional de 36 y 6
    ii. “C” es la cuarta proporcional de 56, 7 y 64
    iii. “M” es la media proporcional de 256 y 4
    Determinar la cuarta proporcional de C, M y T
    Procedimiento

    Respuesta:

    18. Se ha calculado que de cada 15 personas, 7 fuman. En una población de 18000 personas, ¿cuántas no fumarían?
    Procedimiento

    Respuesta:

    19. Tres números son entre si como 2, 5 y 7. Hallar el mayor de los 3 números, sabiendo que el producto de dichos números es igual a 80 veces su suma.

  10. donde 〖6x〗^a y^(b-5) ;〖-3x〗^8 y^(a+1)el exponente de x en el primer termino excede en 2 unidades al exponente de “x” del segundo termino y los exponentes de “y” en ambos terminos son iguales.¿cual sera el valor de “a.b”?

  11. muy buena su explicacion de verdad usted es un excelente profecional de la educacion y buen profesor en las matematicas me gustaria recibir mas articulos como este o hasta mejores muchas gracias le escribo desde LA GUAIRA – CARACAS venezuela