Conjuntos

Aritmetica - Conjuntos
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Hola chicos qué tal! Hoy Matemath les trae el desarrollo del tema Conjuntos, como muchos de ustedes ya lo saben, este es un clásico en la materia de aritmética, se toca casi siempre. Así que aquí no será la excepción, trataremos de abarcar de principio a fin, todos los conceptos importantes como: la relación de pertenencia, determinación de un conjunto, las clases y la relación. Posterior a ello vamos a ver lo que son las operaciones entre conjuntos : Intersección, Unión, diferencia, diferencia simétrica y complemento de un conjunto. Para culminar vamos a ver Problemas sobre conjuntos para que ustedes vean y entiendan como aplicar todos los conceptos.

Sin más, vamos a empezar con lo prometido que hay mucho pan por rebanar.

Recuerden que pueden seguir todo el desarrollo de la clase viendo los vídeos, pero si lo que quieres es profundizar te invito a revisar todo el artículo.

Vídeo 01 – Conjuntos

Idea de Conjunto

Es indudable que la palabra “Conjunto” se utiliza muchas veces y con mucha frecuencia en el hablar natural de las personas. Lo relacionamos casi siempre con grupos de elementos y sus palabras relacionadas podríamos decir que son: colección, familia, clase, equipo, etc.

Elementos de un conjunto

Cuando se piensa en un conjunto de “Cosas”, estas cosas son los elementos del conjunto. A partir de ahora llamaremos por este nombre como se acostumbra en matemáticas.

Para verlo de una manera más clara, pondré algunos ejemplo:

  • El número 4 es un elemento del conjunto números naturales.
  • Un tigre es un elemento dentro del conjunto de fieras.
  • La letra “a” es un elemento del conjunto llamado vocales.

Notación de un conjunto

En general los conjuntos se denotan por letras mayúsculas y los elementos por letras minúsculas. Se acostumbra a escribir los elementos de un conjunto entre llaves y separados por comas.

Ejemplo:

  • A = {a, b, c, d, e} ; esto se lee: Conjunto A formado por los elementos a, b, c, d y e
  • B = {1, 2, 3, 4, 5} ; esto se lee: Conjunto B formado por los elementos 1, 2, 3, 4 y 5

Relación de pertenencia

La palabra pertenencia la usamos siempre para describir que un elemento está dentro de un conjunto. Esta relación solo se va dar de esa manera, de elemento a conjunto; mas no puedo decir que un Conjunto pertenece a otro conjunto. Hay que tener mucho cuidado con eso.

El símbolo de la pertenencia es “ϵ” y lo usamos como abreviatura de una expresión.

Ejemplo: Si quiero decir: El elemento “a” pertenece al conjunto Vocales, solo es necesario escribir: a ϵ “Vocales”

En matemáticas solemos escribir la negación de algo tachándolo con un “/” pues aquí en la pertenencia no tenemos excepción, para decir que un elemento no pertenece a un conjunto solo debemos escribir

Ejemplo de no pertenencia
Ejemplo de no pertenencia

Ejemplo de Relación de Pertenencia

Si tenemos el conjunto: P = {1, {2}, 3, {4, 5}, 6} Se debe cumplir que:

Relación de pertenencia ejemplo

Escucha el audio para que tengas una mejor idea de como se trabaja la relación de pertenencia.

Determinación o designación de conjuntos

Un conjunto puede determinarse de dos formas:

  • Por extensión
  • Por comprensión

Determinación por Extensión

Consiste en la enumeración efectiva de todos sus elementos, es decir se nombra uno a uno cada uno de ellos.

Ejemplo:

Se tiene el conjunto A = el conjunto de los números naturales menores que 8

Por Extensión: A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }

Determinación por Comprensión

Para determinar un conjunto de esta manera, se señala una propiedad común a todos los elementos.

Ejemplo

T = El conjunto de los números naturales menores que 100

Determinación por extensión
Determinación por extensión

Clases de conjuntos

De acuerdo al número de sus elementos se clasifican en:

Conjunto Vacío o Nulo

Es aquel que no tiene elementos y se denota por la letra griega ” ф ” (Se lee fi), también se denota por “{ }”

Ejemplo

Ejemplo de conjunto vacío
Ejemplo de conjunto vacío

Conjunto Unitario

Es aquel que tiene uno y solo un elemento.

Ejemplo

Ejemplo de conjunto unitario
Ejemplo de Conjunto Unitario

Conjunto Finito

Es aquel que tiene una cantidad determinada de elementos.

Ejemplo

Ejemplo de Conjunto finito
Ejemplo de conjunto finito

Conjunto infinito

Es aquel que tiene una cantidad ilimitada de elementos y cuyo último elemento no se puede señalar.

Ejemplo

R = { 1, 2, 3, 4, 5, …….. } Los puntos suspensivos significan que los elementos continúan de forma infinita, por lo tanto R es un conjunto infinito.

S = { x/x es una estrella del firmamento }

Conjuntos iguales

Un conjunto “A” se dice que es igual a otro conjunto “B” si es que ambos conjuntos tienen los mismos elementos.

Ejemplo:

Sea: A = { 3, 5, 8 } y B = { 5, 8, 3 } Entonces podemos afirmar que A=B Los dos conjuntos son iguales por que tienen los mismos elementos

Descarga ejercicios propuestos

Si quieres empezar a practicar con ejercicios que abarquen todo lo visto hasta el momento, puedes visitar la página matematicaspdf.com

Conjuntos disjuntos

Son aquellos conjuntos que no tienen ningún elemento en común

Ejemplo:

Sean los conjuntos, A = {2, 3, 4} y B = {5, 1, 7}

Se dice que A y B son conjuntos disjuntos

Conjunto Universal

Es el conjunto que contiene, comprende o dentro del cuál están todos los demás conjuntos, se le simboliza por la letra “U” y gráficamente se le representa mediante un rectángulo en cuyo vértice se le coloca la letra “U”

Representación gráfica del conjunto universal
Representación gráfica del conjunto universal

Representación gráfica de un conjunto

Diagrama de Venn – Euler:

Consiste en representar el conjunto universal mediante un rectángulo y los otros conjuntos mediante círculos, triángulos o cualquier figura plana.

Diagrama de Venn Euler
Diagrama de Venn Euler

Relaciones entre conjuntos

Inclusión o Subconjuntos:

Se dice que el conjunto A es parte del conjunto B, o que está incluido en B, si todos los elementos de A están en B.

Se acostumbra también a leerse como: “A” está contenido o es subconjunto de “B”

Ejemplo

Sean los conjuntos: A={1, 2, 3, a, b} y B={0, 1, 2, 3, 4, 5, a, b, c, d}

En estos dos conjuntos podemos notar que todos los elementos de A pertenecen también a B. Entonces concluimos diciendo que A está incluido en B.

Gráficamente sería:

Representación gráfica A incluido en B
Representación gráfica de A incluido en B

Nota:

La relación de inclusión se da siempre entre conjuntos y nunca de elemento a conjunto.

Subconjunto Propio

Si un conjunto A es un subconjunto de otro conjunto B, y este otro conjunto “B” tiene uno o más elementos que no pertenecen al subconjunto “A”, se dice que “A” es parte propia o subconjunto propio de “B”

Ejemplo

Dados los conjuntos: A={1, 2, 3, 4} y B={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}

Se dice que “A” es un subconjunto propio de “B”

Familia de conjuntos

Es aquel conjunto cuyos elementos son también conjuntos.

Ejemplo:

Sea A={{2, 3}, {5, 2}, {7}, {4}} es una familia de conjuntos

Conjunto Potencia:

Es el conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto dado.

Si A es el conjunto dado, entonces el conjunto potencia de “A” se denota por P(A) y se lee: P de A

Ejemplos:

Sea: A={5} los subconjuntos que se forman son: P(A)={{5}, { }} por lo tanto se obtienen 2 subconjuntos.

Sea: B={2, 3} los subconjuntos que se forman son: P(B)={{2}, {3}, {2, 3}, { }} por lo tanto se obtienen 4 subconjuntos.

Sea: C={2, 3, 7} los subconjuntos que se forman son: P(C)={{2}, {3}, {7}, {2, 3}, {2, 7}, {3, 7}, {2, 3, 7}, { } } por lo tanto se obtienen 8 subconjuntos.

Por inducción matemática podemos determinar que el número de subconjuntos o conjunto potencia de un conjunto es:

Conjunto potencia
Conjunto Potencia es igual al número de subconjuntos

Vídeo 2 – Conjuntos

En este vídeo podrás ver como se trabajan las operaciones entre conjuntos

Operaciones con conjuntos

Intersección de conjuntos

Está representada por los elementos comunes de ambos conjuntos. si

Ejemplo:

Hallar la intersección de M={1, 2, 3, 4, 5} y N={2, 4, 5, 7, 8, 9}

Intersección de conjuntos
Intersección de conjuntos

Reunión o Unión de conjuntos

Sean A y B dos conjuntos, la Unión de A y B está representada por todos los elementos de ambos conjuntos.

Unión entre conjuntos
Unión entre conjuntos

Diferencia de conjuntos

Sean A y B los conjuntos, la diferencia de A menos B está representada por los elementos que están en A pero no en B

Diferencia de conjuntos
Diferencia de conjuntos

Diferencia simétrica

Sean los conjuntos A y B, la diferencia simétrica está representada por los elementos no comunes de A y B

Diferencia simétrica de conjuntos
Diferencia simétrica de conjuntos

Otros tipos de problemas entre conjuntos

Adicional a las operaciones que acabamos de ver, hay algunos tipos de ejercicios que se pueden resolver graficando diagramas en base al enunciado verbal que me planteen.

Ejemplo

De un grupo de 100 personas, 65 saben nadar y 75 saben remar. ¿Cuántas personas saben nadar y remar a la vez?

Otro tipo de problemas sobre conjuntos
Otro tipo de problemas sobre conjuntos

Ejercicios resueltos sobre conjuntos

En esta sección vamos a desarrollar ejercicios para que puedas ver la manera como abordamos cada uno de ellos.

Vídeo 03 – Conjuntos

Ejercicio N°01

Ejercicio N°01 - Conjuntos

Para resolver este ejercicio lo que debo hacer es encontrar los primeros valores de x, ya que me indica que deben estar entre 2 y 9. A partir de esto lo que sigue sería reemplazar cada valor obtenido en: (3x+1)/2

Nuevamente encontraré valores, pero esta vez los que serán los elementos del conjunto D serán los que son números naturales. Te vas a percatar que algunos resultados no cumplen esta condición.

Para este ejercicio estamos convirtiendo un conjunto determinado por comprensión a extensión.

Ejercicio N°02

Ejercicio N°02 - Conjunto

Aquí tengo que aplicar mi principio teórico donde me dicen que: para que dos conjuntos sean iguales los elementos de ambos también deben ser iguales.

Como recomendación igualar a-1=1 y 6-a=1 Evaluar cada caso y te darás cuenta que el final un dato se repite siempre con lo que podrás partir de ese punto para encontrar los demás valores.

Ejercicio N°03

Ejercicio N°03 - Conjuntos

Lo primero es identificar cuántos elementos tiene el conjunto C, luego de esto aplicar la fórmula de subconjuntos propios, que es: 2 elevado a n (n=número de elementos del conjunto) menos 1

Ejercicio N°04

Para este caso particular, debemos expresar el conjunto C por extensión, una vez hecho esto el ejercicio nos pide interceptar A y C. Para posteriormente restarle el conjunto B.

Debemos respetar los paréntesis y seguir el orden normal de izquierda a derecha.

Conjuntos ejercicios resueltos PDF

Aquí les dejo una serie de ejercicios con solucionario para que puedan practicar. La idea de todo como siempre les digo es que practiquen, enfréntense al problema y vean todas las formas posibles para hallar la solución del mismo.

Conclusiones

Espero haber podido abarcar todo el tema de conjuntos, como siempre digo la idea es poder hacer cosas sencillas que ustedes puedan comprender. si te gustó el artículo compártelo y déjanos tu comentario.

Esta vez hemos hecho una mezcla de texto, audio y vídeo, para que no haya nada que se nos escape.

Te recomiendo también que sigas el artículo que hicimos sobre teoría de exponentes, temas básicos pero muy importantes para tu avance en matemáticas.

Nos vemos!

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Respuestas

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  1. Muy clara explicacion y tambien didactica de conjuntos, los felicito por la pagina

  2. A=(X+2/X e IN , 8 < x <15 ) y
    B=(X-2/X e IN , 15 < x <21 )
    DETERMINAR : BUA Y A (INTERSECCIÓN) B

    1. A={11; 12, 13; 14; 15; 16} y B={14; 15; 16; 17; 18}
      Te piden B U A={11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18}
      Te piden A (intersección) B = {14; 15; 16}

      Espero que te sea de mucha utilidad.

  3. buenas tardes me podría ayudar por favor :
    calcula n(A U B U C) si se sabe que A, B y C son conjuntos disjuntos.
    si n(A) = m ; n(B) = m+r
    n(C) = m + 2r ; ademas:
    n[P(A)] + n[P(B)] + n[P(C)] =208

  4. me podria ayudar con este ejercicio planteado en mi clase
    Sea el conjunto universo U = {x/x es un numero < 20}, representar por extensión y en diagrama de Venn los
    siguientes conjuntos:
    A = {x/x es un numero par}
    B = {x/x es un numero impar}
    C = {x/x es un digito}

  5. Hola, me queda esta duda por favor
    A={ x E Z1 <x<104 ^4|x}
    Cómo lo defino por extensión?
    Gracias!!

  6. El conjunto A tiene 8 elementos y dos primeros elementos de A son 1 y 6. Si la formula por comprensión de este conjunto es lineal, es decir de la forma an+b, halle los valores de a,b y los elementos de A.
    Marque el o las afirmaciones correctas; las incorrectas serán penalizadas

    me podria ayudar porfavor

  7. Hola Marco tengo a una hija desesperada ya que tiene que probar o refutar lossiguientes teoremas para los conjuntos A, B, C fijos pero arbitrarios en un universo no vacio U y se cumple que:

    1.1. (? ∪ ?) ∖ ? = (? ∖ ?) ∪ (? ∖ ?)
    1.2. (? ∪ ? = ? ∧ ? ≠ ∅) ⇒ ? ∖ ? ≠ ?