Movimiento parabólico

Hola chicos y no tan chicos, como están? Espero, que muy bien. Hoy seguimos imparables desarrollando más temas de física, y como quiero seguir la secuencia, vamos a meternos al desarrollo del movimiento parabólico. Estoy seguro, que tienes una idea de ello, si es cierto o no, tranquilo! que aquí lo vas aprender.

Vamos a ir paso a paso, explicándote conceptos importantes, para que al final, estemos en la capacidad de desarrollar ejercicios, en donde apliquemos lo aprendido. Sin más, a meterle caña!

Movimiento parabólico introducción

Para introducirnos en este mundo, es importante que conozcas el movimiento que describen los proyectiles.

Movimiento de proyectiles

Un proyectil es cualquier cuerpo que recibe una velocidad inicial y luego sigue una trayectoria determinada totalmente por los efectos de la aceleración gravitacional y la resistencia del aire.

Una bola golpeada, un balón lanzado, un paquete soltado de un avión y una bala disparada por un rifle son proyectiles. El camino que sigue un proyectil es su trayectoria.

Para analizar este tipo de movimiento, partiremos de un modelo idealizado que representa al proyectil como una partícula y realizamos las siguientes suposiciones:

• El alcance es suficientemente pequeño como para despreciar la curvatura de la Tierra.
• La altura es suficientemente pequeña como para despreciar la variación de la gravedad con la altura. La partícula tiene una aceleración de la gravedad constante en magnitud y dirección.
• La velocidad inicial para despreciar la resistencia del aire.

Cuidado: Para un proyectil de largo alcance, tal como el mostrado en la figura, donde todos los vectores “y” señalan hacia el centro de la Tierra y varían con la altura. La trayectoria es, en este caso, un arco de elipse, como se estudiará más adelante.

La trayectoria de un proyectil de largo alcance no es una parábola, sino un arco de elipse.

Cuidado: Si tenemos en cuenta la resistencia del aire, la trayectoria deja de ser parabólica, como se muestra en la figura y el alcance disminuye.

La figura es una simulación por computador de la trayectoria de una pelota con: Velocidad inicial igual a 50 m/s; ángulo inicial de 53,1º sin resistencia del aire y con una resistencia proporcional al cuadrado de la rapidez de la pelota.

1. Esta aproximación es razonable siempre que el intervalo de movimiento sea pequeño comparado con el radio de la Tierra (6,4×10⁶m). En efecto, esta aproximación es equivalente a suponer que la Tierra es plana a lo largo del intervalo del movimiento considerado.

2. Por lo general, esta aproximación no se justifica, en especial a altas velocidades. Además, cualquier giro dado a un proyectil, lo que ocurre cuando un lanzador envía una bola curva, puede dar lugar a ciertos efectos muy interesantes asociados con fuerzas aerodinámicas.

Con estas suposiciones, encontramos que la curva que describe un proyectil (partícula), que llamaremos su trayectoria, siempre es una parábola.

Qué es movimiento parabólico?

Se denomina movimiento parabólico de caída libre (M.P.C.L.) al movimiento curvilíneo que describen los cuerpos al ser lanzados horizontal u oblícuamente cerca de la superficie terrestre o, en general, cerca de cualquier cuerpo celeste, despreciando la resistencia del aire.

Se comprueba experimentalmente que la trayectoria que describen los cuerpos lanzados horizontal u oblicuamente cerca de la Tierra y sin considerar la resistencia del aire es una parábola.

La parábola es una de las secciones cónicas conocidas desde la antigüedad.

El movimiento parabólico puede considerarse como la ejecución simultánea de dos movimientos rectilíneos: uno horizontal y otro vertical.

Consideremos el caso de un avión que se mueve horizontalmente con velocidad constante y de pronto deja caer un proyectil. Respecto de la Tierra, el proyectil desciende y al mismo tiempo se desplaza horizontalmente.

Si se desprecia la resistencia de aire, se verifica que durante su movimiento
de caída el proyectil se encuentra, en todo momento, debajo del avión. Esto indica que el movimiento horizontal del movimiento parabólico es un movimiento rectilíneo uniforme.

Consideramos el caso de que un cuerpo A se deja caer desde la parte alta de un acantilado y al mismo tiempo se lanza horizontalmente un cuerpo B con una cierta velocidad horizontal.

¿Cuál de los dos llega primero al agua? Si se desprecia la resistencia del aire se verifica que los dos llegan simultáneamente al agua, es decir, que en todo momento ambos se encuentran en una misma horizontal. Esto indica que el movimiento vertical del movimiento parabólico es un movimiento vertical de caída libre.

En conclusión, todo movimiento parabólico se puede considerar como la ejecución simultánea de dos movimientos rectilíneos: un movimiento rectilíneo uniforme de trayectoria horizontal y un movimiento vertical de caída libre de trayectoria vertical.

Según esto, la componente horizontal de la velocidad del cuerpo (velocidad horizontal Vx) permanece constante en todo momento y su componente vertical (velocidad vertical Vy) cambia uniformemente respecto del tiempo.

Movimiento parabólico ejemplos

Entre algunos ejemplos aproximados de este movimiento tenemos la trayectoria que genera la pelota en un partido de fútbol cuando se ejecuta un tiro libre, o también cuando un jugador de basquetbol lanza el balón hacia la canasta.

Este movimiento es una aproximación a casos reales, aquí te menciono otros ejemplos: el lanzamiento de jabalina, el salto largo, el movimiento de una pelota de beisbol, el disparo de un proyectil desde un cañón, etc. Como podemos ver, son innumerables las situaciones que se asemejan a un movimiento con trayectoria parabólica.

Teoría de Galileo

Galileo demostró que el movimiento parabólico, debido a la gravedad, es un movimiento compuesto por otros dos movimientos independientes (principio de independencia de los movimientos): Uno horizontal y el otro vertical.

Descubrió asimismo que el movimiento horizontal se desarrolla siempre como un MRU y el movimiento vertical es un MRUV con aceleración igual a g ≈10 m/s2.

Análisis del MPCL

Este movimiento resulta de la composición del movimiento rectilíneo uniforme en la horizontal y del movimiento de caída libre en la vertical.

Movimiento parabólico características

• La componente horizontal de la velocidad permanece constante durante todo el proyectil.
• La componente vertical de la velocidad varía uniformemente por acción de la aceleración de la gravedad.
• A un mismo nivel, los ángulos que forman las velocidades con la trayectoria son iguales.
• A un mismo nivel, la rapidez de subida es igual a la rapidez de bajada.

• El movimiento del proyectil es desacelerado durante la subida y acelerado durante la bajada.
• En el momento en que el proyectil alcanza su punto más alto, adquiere su velocidad mínima y horizontal.
• La velocidad de impacto en el piso tiene el mismo valor que la velocidad de lanzamiento.
• El tiempo que demora en subir el proyectil es igual al tiempo que demora en bajar.

Observación:

Si bien, el análisis se hace independientemente en cada eje, esto ocurre simultáneamente, es decir, los intervalos de tiempo que transcurren para cada dirección son iguales.

Si quisiéramos determina la rapidez de la pelota después de ser lanzada, tendría que usarse el teorema de Pitágoras.

Por ejemplo, en el instante mostrado, Vx y Vy son respectivamente perpendiculares, luego:

Movimiento parabólico fórmulas

Tiro semiparabólico

En la figura se muestra un cuerpo lanzado en A de manera horizontal con una rapidez Vx, que se mantendrá constante a lo largo del movimiento.

En el movimiento vertical se observa que la rapidez vertical en A es nula (Vy = 0), pero a medida que el cuerpo cae, esta rapidez va aumentando.Las distancias recorridas tanto en el eje vertical como en el horizontal se han efectuado en intervalos de tiempo iguales.

Nota:

Todos los tiros semiparabólicos causados por la gravedad se resuelven con las siguientes ecuaciones:

Movimiento parabólico elementos

Vamos analizar las fórmulas. Mira el siguiente gráfico:

Para el movimiento horizontal:

Fórmulas auxiliares:

Tiempo de subida:

Altura máxima:

Distancia total recorrida:

Para el movimiento vertical

Considerar el signo más (+) cuando el cuerpo baja y el signo menos (-) cuando el cuerpo sube.

Alcance horizontal

Analicemos que ocurre con un proyectil cuando es lanzado con distintos ángulos de lanzamiento y con una velocidad de lanzamiento determinada.

• Si el ángulo de lanzamiento es pequeño, el proyectil regresa muy rápido al piso.
• Si el ángulo de lanzamiento es grande, entonces el proyectil se elevará más y tardará más tiempo en el aire, pero avanzará muy lento en la horizontal.
• El ángulo óptimo para obtener un alcance máximo horizontal de un proyectil es 45º (para otros ángulos el alcance es más corto).
• Se puede lograr el mismo alcance para ángulos complementarios (un par de ángulos que suman 90º, ejemplo 30º y 60º; 15º y 75º).

• Al disparar un proyectil dos veces con la misma rapidez, pero con ángulos de elevación complementarios, se logra igual alcance horizontal.

• Podemos determinar el ángulo teta, si conocemos la relación entre “h”, “a” y “b”.

Movimiento parabólico mapa conceptual

A tener en cuenta:

En la mayoría de problemas de MPCL, lo recomendable es descomponer la velocidad y obtener sus componentes horizontal y vertical, para eso debemos hacer uso de los triángulos notables.

Movimiento parabólico ejercicios resueltos:

Vamos a darle con todo y aplicar lo que hemos aprendido, si es la primera vez que estás desarrollando el tema, te aconsejo que tengas a la mano las fórmulas, pues a veces nos cuesta aprenderlas de un porrazo.

Sin más, a darle:

Ejercicio 1

Se lanza un cuerpo con una rapidez de 50 m/s, calcula el tiempo de subida (g = 10 m/s2).

Solución:

Descomponemos la rapidez.

Para calcular el tiempo de subida, solamente necesitamos la rapidez vertical.

Ejercicio 2

Del movimiento parabólico que se muestra, se sabe que el tiempo de vuelo es 8 s. Calcula la altura máxima que alcanza el móvil (g = 10 m/s2).

Solución:

Si el tiempo de vuelo es 8 segundos, entonces el tiempo de subida es 4 segundos.

Ahora calculamos la altura máxima:

Ejercicio 3

Un proyectil es lanzado con un ángulo de inclinación de 60°, tal como se muestra en la figura. Determina la rapidez mínima inicial para que el proyectil pase la barrera con una rapidez horizontal de 12 m/s.

Solución:

Utilizamos la descomposición rectangular:

Ejercicio 4

Un proyectil es lanzado desde un piso horizontal con una velocidad de módulo 50 m/s, de manera que la velocidad forma 53º con la horizontal. Calcula:

• El tiempo de subida (en s).
• El tiempo de vuelo (en s).
• El alcance horizontal (en m).
• La altura máxima (en m).

Considera la aceleración de la gravedad g = 10 m/s2.

Solución:

Graficamos el problema y descomponemos la velocidad inicial.

Ejercicio 5

Se dispara un proyectil con una velocidad de módulo 100 m/s y con un ángulo de 53º respecto de la horizontal. Calcula el módulo de la velocidad (en m/s) luego de 2 s. (g = 10 m/s2)

Solución:

Graficando el problema y descomponiendo la velocidad inicial:

Para calcular V necesitamos el valor de Vf; para ello aplicamos la fórmula en la vertical.

Como sube tomamos el signo (–), entonces, reemplazando los datos:

Ejercicio 6

Calcula la altura «h» en metros. (g = 10 m/s2)

Solución:

Primero calculamos el tiempo de vuelo desde A hasta B; para ello utilizamos la componente horizontal.

Ejercicio 7

Calcula el valor dela altura «h» (en m) si el módulo de la velocidad de lanzamiento es 50 m/s y el tiempo empleado en llegar al piso es 10 s (g = 10 m/s2).

Solución:

Graficamos la descomposición de la velocidad y la llegada al piso.

Para calcular «h» como se observa, podemos aplicar la fórmula en el tramo C – D:

Tomando el signo + debido a que cae.
Reemplazamos los datos:

Ejercicio 8

A partir del siguiente gráfico determina:
• La máxima altura alcanzada
• El tiempo que demora para lograr esa altura
Desprecie la resistencia del aire

Solución:

Ejercicio 9

¿Desde qué altura se debe lanzar horizontalmente el cuerpo para que caiga a 30 m del pie del plano inclinado?. (g=10m/s2).

Solución:

Dibujamos la trayectoria parabólica

Eje «Y»

Eje «X»

Ejercicio 10

Dos esferas salen rodando de la superficie horizontal de una mesa con rapideces de 3 y 8 m/s cayendo al piso de tal manera que sus velocidades
forman ángulos complementarios con el piso. Calcule la altura de la mesa.
(g=10m/s2).

Solución:

En la posición final de los triángulos:

Movimiento parabólico ejercicios resueltos pdf

Aquí te dejo una imagen de los ejercicios siguientes para que te pongas a practicar. La idea es que agarres más cancha practicando:

Movimiento parabólico clase completa

Si esto no es suficiente, aquí te comparto una de las clases que hemos desarrollado dentro de la plataforma Matemath, desde cero te explico como trabaja el movimiento parabólico de caída libre

Palabras finales

Ya para terminar, como siempre digo: Espero que este artículo te haya servido de mucho y hayas podido aprender. Si quieres ser un experto y aprender mucho más de todo lo referente a matemáticas y/o física, no está de más invitarte a que formes parte de la plataforma Matemath. Suscríbete y benefíciate de todo lo que ofrecemos (Clases en vivo de manera diaria, cursos completos, material de trabajo y soporte)

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