Triángulos rectángulos notables

TRIANGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES IMAGEN DE PORTADA

Hola qué tal! Hoy estamos reunidos para poder aprender más acerca de los triángulos rectángulos notables, es un tema muy importante dentro de la geometría. Y no solo en esa materia, pues lo usaremos también con mucha frecuencia para desarrollar ejercicios de trigonometría y física.

El artículo de hoy nos servirá para que sepamos como aplicar la proporcionalidad que tienen los lados de los triángulos en los ejercicios que nos planteen, sin más vamos por todo.

Introducción:

Vamos a ver algunos conceptos básicos importantes que son necesarios tenerlos claros.

El primero es saber, que es un triángulo rectángulo:

Triángulo rectángulo:

Es aquel triángulo que tiene un ángulo recto (90°).

Notación:
Se lee triángulo rectángulo ABC; el ángulo recto (90°) está en el vértice B que va en medio de los otros dos vértices.

Nota: A los ángulos de un triángulo rectángulo notable también se les denomina ángulos notables.

Teorema de pitágoras

El matemático y místico Pitágoras postuló hace más de dos mil años el siguiente teorema: “En un triángulo rectángulo se cumple que la suma de los cuadrados de sus catetos es igual al cuadrado de su hipotenusa”.

¿Qué son los triángulos rectángulos notables?

Son aquellos triángulos en donde conociendo el valor de sus ángulos internos se puede deducir a continuación la razón en la cual se encuentran sus lados y viceversa.

Estos son todos los triángulos rectángulos notables que existen

Triángulos rectángulos notables exactos

Se denomina así a ciertos tipos de triángulos rectángulos en los cuales se conoce la medida exacta de sus ángulos internos y por lo tanto se puede obtener una relación entre las medidas de sus lados (catetos e hipotenusa) y viceversa.

Triángulo de 45°

En ambos casos la hipotenusa es igual a cualquiera de los catetos multiplicado por la raíz cuadrada de dos.

Este triángulo origina al triángulo notable exacto de 22°30′.

Triángulo de 30° y 60°

En ambos casos la hipotenusa será el doble del cateto menor, y el cateto mayor será igual al cateto menor multiplicado por la raíz cuadrada de tres.

Este triángulo origina al triángulo notable de 15° y 75°.

Triángulo de 15° y 75°

La altura relativa a la hipotenusa mide la cuarta parte de la longitud
de dicha hipotenusa.

Triángulo de 36° y 54°

Este triángulo origina al triángulo notable de 18° y 72°.

Triángulo de 22°30′

Existe también un triángulo notable exacto de 22°30’, cuyo valor no es entero pero si exacto y se obtiene a partir de un triángulo de 45°.

Triángulos rectángulos notables aproximados

Al igual que los triángulos notables exactos, los triángulos notables aproximados también guardan una relación conocida entre las medidas de sus lados y las medidas de sus ángulos internos, con la única diferencia de
que estos ángulos internos no son exactos, pues son números irracionales, por tal motivo se acostumbra redondearlos hasta su parte entera; por ejemplo:

Triángulo de 37° y 53°

Triángulo de 16° y 74°

Triángulo de 8° y 82°

Triángulo de 28° y 62°

Triángulo de 37°/2 (18°30′)

Triángulo de 53°/2 (26°30′)

Triángulo de 14° y 76′

Triángulo de 31° y 59°

Triángulo de 40° y 50°

Triángulos pitagóricos

Son aquellos triángulos rectángulos que tienen lados de valor entero (Z+) y se pueden construir empleando las siguientes fórmulas:

Si reemplazamos n por números enteros positivos y utilizamos la fórmula 1 tendremos:

Para n=1

Para n=2

Para n=3

Ahora reemplazamos n por números enteros positivos y utilizamos la fórmula 2:

Para n=1

Para n=2

Para n=3

Triángulos rectángulos notables ejercicios

Vamos empezar a ver la parte aplicativa de este tema, vamos a desarrollar problemas propuestos. Iniciemos:

Ejercicio 1

Calcula “x”

Solución:

Ejercicio 2

Calcula AE, si AB = 1 y DE = 2.

Solución:

Ejercicio 3

Si ED = 12, calcula (AC + EB).

Solución:

Ejercicio 4

Si AB = BC, calcula: a/b

Solución:

Ejercicio 5

Calcula x si el ABC es un triángulo pitagórico.

Solución:

Ejercicio 6

Calcula (x – y) de la figura.

Solución:

Ejercicio 7

Halla AC, si: BH = 12.

Solución:

Ejercicio 8

Calcula AC, si: AB = 4 y BC = 10.

Solución:

Ejercicio 9

En un triángulo ABC, AB = 5BC, la medida del ángulo BAC = 8°. Calcula la medida del ángulo BCA.

Solución:

Ejercicio 10

Calcula alfa, si: AC = 16 y HE = 3.

Solución:

Ejercicio 11

Solución:

Los triángulos ORQ y QMP son notables de 30° y 60°.

Ejercicio 12

Halla “x”

Solución:

Trazamos la altura MH, el triángulo MHB es notable de 30° y 60°, entonces: MH=x/2, luego como R es punto medio de MC.

Ejercicio 13

Halla “x”

Solución:

Se traza la altura AP. El triángulo APB es notable de 37° y 53°

Ejercicio 14

En un triángulo ABC, recto en B, se trazan BH perpendicular a AC y BD bisectriz del ángulo HBC. Si: AB = 4 y AH = 3. Halla HD.

Solución:

Ejercicio 15

En el triángulo ABC; AC = 74 cm y PQRS es un cuadrado. Halla el lado del cuadrado.

Solución:

Ejercicio 16

Del gráfico, halla x.

Solución:

Ejercicio 17

En un triángulo ABC, la medida del ángulo A = 15°; la medida del ángulo C = 30° y AB = 8. Halla AC.

Solución:

Ejercicio 18

En un trapezoide ABCD, la medida del ángulo A = 30°, la medida del ángulo B = 120°, la medida del ángulo C = 150°, además BC = 6 y CD = 3 raíz de 3 . Calcula AB.

Solución:

Ejercicio 19

Se tiene un triángulo ABC recto en B donde la medida del ángulo BAC = 60°. Se traza su bisectriz interior AD. Calcula DC, si BD = 2.

Solución:

Ejercicio 20

Si PQR es un triángulo equilátero de lado 16. Por A, punto medio de PQ, se traza AB perpendicular a PR; por B se traza BC perpendicular a QR. ¿Cuánto mide BC?

Solución:

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Listo compañeros, vamos a dejar este artículo aquí, espero como siempre haber podido aportar mi granito de arena, que te encuentres muy bien, y hasta la próxima, adiós.

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