Certezas

Hola que tal! El día de hoy vamos a desarrollar todo el tema de Certezas, aplicado a la materia de razonamiento matemático. Te explicaré paso a paso como poder resolver ejercicios de aplicación, y verás que con un poco de criterio se nos hará muy sencillo. Sin más, empecemos…

Certezas definición

En este tema se pretende determinar el número mínimo de intentos que se deben de hacer para tener con seguridad la meta elegida.

Para obtener la certeza, debe considerarse el peor de los casos.

Regla general

N° total de extracciones = # total de extracciones de casos no esperados (el peor de los casos) + # total de extracciones de casos esperados (lo que pide el problema)

Principales casos en problemas de certezas

Bolos que se extraen de una urna o caja

Vamos a entenderlo mejor con un ejemplo:

En una urna se tiene 4 bolos negros, 6 bolos blancos y 5 bolos azules. ¿Cuántos bolos deberán extraerse como mínimo, para tener la certeza de tener dos bolos negros?

Solución:

Bolos numerados

Miremos ahora el ejemplo 2

Se tiene 50 bolos numerados desde el 1 hasta el 50 ¿Cuántas bolas como mínimo se deben extraer al azar para tener la certeza de extraer 5 bolos pares, mayores de 50?

Solución:

Candados

a) Con igual número de llaves y candados
Para saber cual corresponde:

Para abrirlos:

Miremos los siguientes ejemplos:

Se tienen 10 candados con igual número de llaves y candados ¿Cuántos insertos como mínimo se deben realizar para determinar la correspondencia entre llaves y candados?

Solución:

Otro ejercicio muy parecido:

Se tienen 10 candados con sus 10 llaves, se desean abrir dichos candados ¿Cuántos insertos como mínimo se deben realizar?

Solución:

b) Con distinto número de llaves y candados:

Se tienen 10 llaves y 8 candados, ¿Cuántos insertos como mínimo se debe realizar para abrirlos todos?

Solución:

Certezas con naipes

Entendamos este concepto con el siguiente ejercicio:

Se tiene de 52 cartas. ¿Cuántas cartas, como mínimo, se deben extraer al azar para tener la certeza de extraer 5 tréboles y 10 espadas?

Solución:

Certezas con guantes y zapatos

En una caja hay 5 pares de zapatos marrones y 4 pares de zapatos marrones. ¿Cuántos zapatos hay que extraer, como mínimo, para tener la
certeza, de obtener un par útil del mismo color?

Solución:

Observaciones

  1. Se debe considerar siempre el “peor de todos los casos posibles” para dar con la respuesta. Esto significa que primero sale lo que no quieres y al final sale lo que quieres.
  2. Recordar que las extracciones de elementos se hace sin mirar qué elementos saco (al azar).
  3. Cuando pidan la mejor cantidad entiéndase que es lo necesario o suficiente para que se cumpla la condición.

Ejercicios de certezas para primaria

Ejercicio 1

En una caja hay 10 bolas blancas y 12 rojas. ¿Cuántas bolas se debe extraer al azar y como mínimo para tener con seguridad:

  1. Al menos una bola roja
  2. Al menos una bola blanca
  3. Al menos dos bolas del mismo color
  4. Una bola de cada color.

Solución:

1. Al extraer una bola no podemos asegurar de qué color será. Para tener la seguridad de tener una bola roja tenemos que agotar todas las blancas. Entonces hay que hacer 10 extracciones con las que, si hasta entonces no ha salido ni una bola roja, se habrán agotado todas las blancas. En la 11º extracción tendremos con toda seguridad al menos una bola roja. – Respuesta: 11

2. Para tener con seguridad una bola blanca tenemos que agotar todas las rojas. Como son 12 rojas, éstas se agotan en 12 extracciones, y si hasta entonces no ha salido ni una sola blanca, con la 13º extracción, tendremos con toda seguridad una bola blanca. – Respuesta: 13

3. Ahora queremos tener al menos dos bolas del mismo color. Consideremos que en la primera extracción sale una blanca. Si en la segunda extracción también sale blanca, ya tendríamos dos bolas del mismo color blanco, pero esto no es seguro. Supongamos que en la 2da extracción sale roja. En la 3ra, si sale blanca con la primera hacen dos bolas del mismo color y si sale roja
con la segunda bola hacen dos del mismo color. O sea, con la 3º extracción de todos modos obtenemos al menos 2 bolas del mismo color. – Respuesta: 3

4. Podría darse que las 12 primeras extracciones sean rojas, pero la 13º extracción tendría que salir blanca y así tendríamos con seguridad al
menos uno de cada color. – Respuesta: 13

Ejercicio 2

¿Cuántas personas, como mínimo, debo invitar a mi cumpleaños para tener la seguridad de que haya al menos tres invitados que cumplan años el mismo mes del año?

Solución:

Debemos suponer una situación, la más adversa posible. Supongamos que cada persona cumple años en un mes diferente. Con 24 personas, distribuidas dos por mes, cubriríamos los 12 meses. Si hubieran 25 personas, necesariamente habrían 3 personas cumpliendo años el mismo mes.

Respuesta: 25

Ejercicio 3

En una caja se han introducido 20 fichas numeradas del 1 al 20. ¿Cuántas fichas se deben extraer al azar y como mínimo para estar seguros de tener:

  1. Al menos dos fichas pares?
  2. Dos fichas de la misma paridad?
  3. Dos fichas cuya suma sea impar?

Solución:

1. De las 20 fichas 10 son pares y 10 impares. Para estar seguros de tener 2 fichas pares hay que agotar todas los impares. En el peor de los casos, con 10 extracciones se habrán agotado todas las impares. La11º y 12º extracción necesariamente serán pares.

Respuesta: 12

2. De la misma paridad significa ambas pares o ambas impares. Supongamos que en la 1º extracción sale par, en la 2º extracción no necesariamente saldrá par. Debemos situarnos en el caso más adverso. Supongamos que sale impar en la 2º extracción, en la 3º extracción si sale par, con la primera ficha hacen 2 pares y si sale impar, con la 2º ficha hacen 2 impares. Con 3 extracciones tenemos la seguridad de tener 2 fichas de
la misma paridad.

Respuesta: 3

Para que la suma sea impar las 2 fichas deben ser de diferente paridad. Debemos agotar primero todos los pares (o impares) con 10 extracciones. La 11º extracción, con seguridad será impar (o par).

Respuesta: 11

Ejercicio 4

En una caja se han introducido 12 pares de calcetines blancos y 15 pares de calcetines rojos. ¿Cuántas extracciones se deben realizar de uno en uno y sin ver para tener la plena seguridad de obtener:
a) Un par de calcetines rojos?
b) Un par de calcetines blancos?
c) Al menos un par de calcetines del mismo color?
d) Al menos un par de calcetines de cada color?

Solución:

Para estar seguros de tener lo deseado tenemos que situarnos en el caso más adverso.

a) Al empezar a extraer no tenemos la seguridad de obtener calcetines rojos. En la situación más adversa tendríamos que suponer que salen puro blancos, los cuales se agotarían en 24 extracciones, ya que son 12 pares.
A partir de la 25º extracción saldrían sólo rojos y con la 26º extracción completaríamos el par rojo.

Respuesta: 26

b) Para tener un par de calcetines blancos tenemos que agotar todos los rojos, para lo cual harían falta 30 extracciones. Con la 31º y 32º extracción tendríamos con toda seguridad, al menos un par blancos.

Respuesta: 32

c) Supongamos que en la primera extracción sale blanco, en la segunda no se puede garantizar de que también saldrá blanco, entonces, situándonos en el caso más adverso, supondremos que sale rojo. En la tercera extracción, cualquiera sea el color que salga, con uno de los anteriores
hacen un par del mismo color.

Respuesta: 3

d) Para tener un par de cada color debemos agotar los calcetines del color más numeroso, esto es, los rojos. Esto se logra con 30 extracciones.
En la 31º y 32º extracciones, necesariamente saldrían blancos, con lo que tendríamos, con toda seguridad, al menos un par de cada color.

Respuesta: 32

Ejercicio 5

En una caja hay 12 pares de guantes azules y 10 pares de guantes rojos. ¿Cuántas extracciones se deben realizar de uno en uno y sin ver para tener la plena seguridad de obtener:
a) Un par de guantes utilizables de color rojo?
b) Un par de guantes utilizables del mismo color?
c) Al menos un par utilizable de cada color?

Solución:

En los guantes se distinguen el derecho y el izquierdo. Un par es utilizable cuando se tiene uno de cada lado.

a) Para tener guantes rojos tenemos que agotar los azules, lo cual se logra con 24 extracciones, ya que hay 12 pares de ellos. A partir de la 25º extracción, necesariamente saldrían rojos pero, suponiendo la situación
más adversa, no necesariamente utilizables. Consideremos que salen sólo guantes rojos zurdos, éstos se agotarían en 10 extracciones más, entonces en la 35º extracción tendría que salir necesariamente un rojo derecho.

Rpta.: 35

b) Para tener un par utilizable del mismo color tendríamos que agotar, por ejemplo, todos los zurdos, esto es, extrayendo los 12 zurdos azules y los 10 zurdos rojos. O sea con 22 extracciones. En la 23º extracción tiene que salir necesariamente un derecho, sea rojo o azul, que con uno de los zurdos ya extraídos del color correspondiente harían un par de guantes utilizables del mismo color.

Rpta.: 23

c) Para asegurarse de tener al menos un par de cada color primero debemos agotar todos los guantes, zurdos y derechos, del más numeroso, en este caso, los azules, lo cual se lograría con 24 extracciones. A partir de la 25º extracción saldrían los rojos, pero no necesariamente utilizables. Tendríamos que agotar todos los rojos de un lado, esto se logra con 10 extracciones más. En la 35º extracción necesariamente tendría que salir un rojo del otro lado y tendríamos la garantía de tener al menos un par de cada color.

Rpta.: 35

Ejercicios de certezas para Secundaria

Vamos a plantear ejercicios resueltos sobre el tema certezas, pero esta vez elevaremos un poco el nivel. Empecemos:

Ejercicio 6

En una oficina trabajan 23 personas. Mensualmente la secretaria programa la celebración del cumpleaños de todos los empleados que cumplen años en ese mes. ¿Cuántos empleados como mínimo celebran su cumpleaños el mismo mes?

Solución:

Los cumpleaños de las 23 personas se pueden distribuir en un mes, en 2 meses o más. Siempre es posible de que algún mes no cumpla años ninguno. Por lo tanto, como mínimo puede que el número de personas que celebren su cumpleaños el mismo mes sea cero.

Respuesta: 0

Ejercicio 7

¿Cuántas secretarias, como mínimo, trabajan en una oficina si se tiene la plena seguridad de al menos dos de ellas cumplen años el mismo mes?

Solución:

El año tiene 12 meses. Si hubieran 12 secretarias y situándonos en el peor de los casos, es posible que cada una cumpla años en un mes diferente. Pero una secretaria más garantizaría, con cualquiera de las 12 anteriores, cumplan años el mismo mes y así habrían dos secretarias cumpliendo años el mismo mes. Por lo tanto deben trabajar al menos 13 secretarias.

Respuesta: 13

Ejercicio 8

En una caja hay 20 pares de calcetines negros, 30 pares de calcetines azules y 35 pares de calcetines blancos. ¿Cuántas extracciones, uno por uno, habría que efectuar al azar y como mínimo para obtener con seguridad un par de calcetines del mismo color y cuántos para obtener uno de cada color?

Solución:

En los calcetines no se distingue el derecho del izquierdo. Supongamos que con 3 extracciones no se consigue un par del mismo color, entonces tendríamos 3 de distintos colores.
En la cuarta extracción tendrá que salir uno de cualquiera de los tres colores y con el que ya se tenía harían un par del mismo color. Se requieren 4 extracciones como máximo.

Para tener con seguridad calcetines de distinto color, tendríamos que agotar los dos colores con mayor número de calcetines; esto se logra con un máximo de 60 + 70 = 130 extracciones. En la 131º extracción tendría que salir necesariamente uno del tercer color, con el cual tendríamos al menos uno de cada color.

Respuesta: 4 y 131

Ejercicio 9

En una caja hay 10 pares de guantes azules y 8 pares de guantes rojos. Extrayendo al azar, se desea obtener un par de guantes utilizables del mismo color. ¿Cuántos guantes como mínimo, habría que extraer para
obtener con seguridad el par deseado?

Solución:

Para estar seguros de tener el par deseado tenemos que situarnos en la forma más adversa de obtenerlo. Supongamos que sólo salen guantes izquierdos (azules y rojos). En la 18º extracción se agotarían con seguridad.
En la 19º extracción necesariamente tendría que salir un guante derecho de cualquiera de los dos colores que con uno de los izquierdos harían un par utilizable.

Respuesta: 19

Ejercicio 10

Uno de los asistentes a un congreso le comenta al otro –¿Te has dado cuenta de que ninguno de los asistentes tiene menos de 20 años ni más de 60 años?
El otro le respaldó la pregunta con un ademán y le dijo – Yo tengo la plena seguridad de que al menos hay 6 personas que tienen la misma edad.
¿Cuántos asistentes hay como mínimos en este congreso?

Solución:

De 20 a 60 años hay 41 edades. Para tener la seguridad de que dos personas tienen la misma edad tenemos que, situarnos en el peor de los casos, suponer que todas las personas tienen edades diferentes.

Para que, con toda seguridad, 6 tengan la misma edad, debemos agotar que para cada edad hay 5 personas, esto permite distribuir 5×41 = 205 personas. Si hay una persona más, garantizará de que hayan 6 personas con la misma edad. Entonces habrían por lo menos 206 asistentes.

Rpta.: 206

Ejercicios de certezas Nivel pre universitario

Ejercicio 11

Una caja contiene 12 canicas rojas, 13 verdes y 9 azules. ¿Cuál es el mínimo número de canicas que se deben extraer al azar para tener la certeza de haber extraído entre ellas tres canicas de diferente colores?

Solución:

Ejercicio 12

En una urna hay 8 bolos numerados del 2 al 10. ¿Cuál es el mínimo número de bolos que se debe extraer al azar para tener la certeza de haber extraído dos bolos, cuyo números suman 11?

Solución:

Ejercicio 13

En una caja se tienen guantes de box: 4 pares de color rojo, 5 pares azules y 6 pares verdes. ¿Cuántos guantes como mínimo se deben extraer al azar para tener la certeza de haber extraído entre ellos 2 pares útiles de color verde?

Solución:

Certezas Clase completa

Aquí te dejo con una clase realizada en la plataforma Matemath

Artículos relacionados

Artículos Relacionados

Respuestas

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *